[論文レビュー] A characterization of $L_{2}$ mixing and hypercontractivity via hitting times and maximal inequalities

Jonathan Hermon, Yuval Peres|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、有限可逆マルコフ連鎖における $L_2$ 混合時間 ($\tau_2$) と相対エントロピー混合作時間 ($\tau_{\mathrm{Ent}}$) の確率的特徴付けを、到達時間と最大不等式を用いて提示する。$\tau_2$ と $\tau_{\mathrm{Ent}}$ がそれぞれ到達時間に基づくパラメータ $\rho$ と $\rho_{\mathrm{Ent}}$ に対して定数倍の要因で有界であることが示され、重み付きスペクトルギャップとしてのログソボレフ定数の新しい極値的特徴付けが導入され、ハイパーコントラクト性の確率的解釈が得られる。

ABSTRACT

There are several works characterizing the total-variation mixing time of a reversible Markov chain in term of natural probabilistic concepts such as stopping times and hitting times. In contrast, there is no known analog for the $L_{2}$ mixing time, $τ_{2}$ (while there are sophisticated analytic tools to bound $ τ_2$, in general they do not determine $τ_2$ up to a constant factor and they lack a probabilistic interpretation). In this work we show that $τ_2$ can be characterized up to a constant factor using hitting times distributions. We also derive a new extremal characterization of the Log-Sobolev constant, $c_{\mathrm{LS}}$, as a weighted version of the spectral gap. This characterization yields a probabilistic interpretation of $c_{\mathrm{LS}}$ in terms of a hitting time version of hypercontractivity. As applications of our results, we show that (1) for every reversible Markov chain, $τ_2$ is robust under addition of self-loops with bounded weights, and (2) for weighted nearest neighbor random walks on trees, $τ_2 $ is robust under bounded perturbations of the edge weights.

研究の動機と目的

• 先行研究において自然な確率的解釈を欠いている有限可逆マルコフ連鎖における $L_2$ 混合時間 ($\tau_2$) の確率的特徴付けを提供すること。
• 到達時間分布を用いて、この特徴付けを相対エントロピー混合作時間 ($\tau_{\mathrm{Ent}}$) に拡張すること。
• 重み付きスペクトルギャップとしてのログソボレフ定数 ($c_{\mathrm{LS}}$) の新しい極値的特徴付けを導入し、ハイパーコントラクト性の確率的解釈を可能にすること。
• 自己ループの有界な摂動、たとえば木構造におけるエッジ重みの摂動などに対する $\tau_2$ のロバスト性を確立すること。
• 極値不等式に関する予想を通じて、$c_{\mathrm{MLS}}$ と $\tau_{\mathrm{Ent}}$ 間の関係に関する未解決問題に答えを提示すること。

提案手法

• 各 $x$ に対して $\rho_x$ と $\rho_{\mathrm{Ent},x}$ を、$\pi(A) \leq 1/2$ を満たす任意の連結集合 $A$ について、時間 $t$ までに $A$ から脱出しない確率が $\pi(A) + \frac{1}{2}\sqrt{\pi(A)\pi(A^c)}$ 以下であるような最小の $t$ として定義する。それぞれの定義において、相対エントロピー版では $\min\left(\frac{C_{\mathrm{Ent}}}{|\log \pi(A)|}, \frac{99}{100}\right)$ を用いる。
• 到達時間の指数モーメントの上界と最大不等式を用いて、小さな集合からの脱出時間の尾確率を制御する。
• カックの公式と指数分布による確率的支配を用いて、到達時間のラプラス変換を上界で抑え込む。
• 重み付き極値的表現を通じて、ログソボレフ定数とスペクトルギャップの関係を確立し、ハイパーコントラクト性の確率的解釈を明らかにする。
• 有界な自己ループの追加や木構造における重み付き近接隣接ランダムウォークのエッジ重みの有界摂動に対して、$\tau_2$ が定数倍の要因内で不変であることを証明する。
• パス分解とパスに沿った到達時間増分の独立性を用いて、$T_{x_{\delta}}$ の尾確率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限可逆マルコフ連鎖において、$\tau_2$ は到達時間分布を用いて定数倍の要因で特徴付けられるか？
• RQ2 スペクトルギャップが混合作時間と関係するのと同様に、ログソボレフ定数 $c_{\mathrm{LS}}$ は到達時間に基づく確率的解釈を有するか？
• RQ3 $L_2$ 混合作時間 $\tau_2$ は、自己ループの追加やエッジ重みの変更といった有界な摂動に対しても安定性を保つのか？
• RQ4 相対エントロピー混合作時間 $\tau_{\mathrm{Ent}}$ も、到達時間に基づくパラメータ $\rho_{\mathrm{Ent}}$ を用いて同様に特徴付けられるか？
• RQ5 ある普遍定数 $C$ が存在して、$1/c_{\mathrm{MLS}} \leq C \tau_{\mathrm{Ent}}$ または $1/c_{\mathrm{MLS}} \leq C \rho_{\mathrm{Ent}}$ が成り立つのか？

主な発見

• $L_2$ 混合作時間 $\tau_2$ は、絶対定数 $C_1, C_2$ を用いて $\rho \leq \tau_2 \leq C_2 \rho$ を満たす。ここで $\rho$ は小さな連結集合における到達時間の尾確率の上界に基づいて定義される。
• 相対エントロピー混合作時間 $\tau_{\mathrm{Ent}}$ は、絶対定数 $C_3$ を用いて $\rho_{\mathrm{Ent}} \leq \tau_{\mathrm{Ent}} \leq C_3 \rho_{\mathrm{Ent}}$ を満たす。これは到達時間に基づく特徴付けを確立する。
• ログソボレフ定数 $c_{\mathrm{LS}}$ は、スペクトルギャップの重み付き版としての新しい極値的特徴付けを有し、これにより $\tau_2$ と直接関連づけられ、ハイパーコントラクト性の確率的解釈が可能になる。
• $\tau_2$ は、有界な重みを持つ自己ループの追加に対してロバストであり、$\tau_2$ の値は定数倍の要因内でしか変化しない。
• 重み付き近接隣接ランダムウォークが木構造上で定義される場合、エッジ重みの有界な摂動に対しても $\tau_2$ はロバストであり、混合作時間は定数倍の要因内で保たれる。
• 本稿では、到達時間の尾の減衰速度が小さな集合においてログソボレフ定数によって支配されることを示し、ハイパーコントラクト性の確率的解釈を提供する。