[論文レビュー] A characterization of martingale-equivalent compound mixed Poisson process

Demetrios P. Lyberopoulos, N. D. Macheras|arXiv (Cornell University)|May 18, 2019

Probability and Risk Models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率測度 $ P $ における複合混合ポアソン過程（CMPP）が進行的同等測度 $ Q $ の下でもCMPPの性質を保つような、すべての進行的同等測度 $ Q $ を特徴づけ、Delbaen & Haezendonck (1989) の結果を一般化する。主な結果である定理4.3は、正規条件付き確率とラドン＝ニコディム微分を用いた特徴づけを提供し、保険料設定やリスクが消失する可能性がある市場における自由な利確（NFLVR）の分析への応用を可能にする。

ABSTRACT

If a given aggregate process $S$ is a compound mixed Poisson process under a probability measure $P$, a characterization of all probability measures $Q$ on the domain of $P$, such that $P$ and $Q$ are progressively equivalent and $S$ remains a compound mixed Poisson process with improved properties, is provided. This result generalizes earlier work of Delbaen & Haezendonck (1989). Implications related to the computation of premium calculation principles in an insurance market possessing the property of no free lunch with vanishing risk are also discussed.

研究の動機と目的

• 複合ポアソン過程に対するマーティングール同等測度の特徴づけを、Delbaen & Haezendonck (1989) が提示した結果を、より広いクラスの複合混合ポアソン過程（CMPP）へ一般化すること。
• 確率測度 $ P $ におけるCMPPが進行的同等測度 $ Q $ の下でもCMPPの性質を保つための条件を、正規条件付き確率を用いて確立すること。
• NFLVR条件を満たす保険市場における保険料計算原理の計算フレームワークを提供すること。
• ランダムな強度とペイオフ分布を含む非古典的リスク理論の文脈へ、マーティングール同等測度理論の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 分散測度への分解を用いて、正規条件付き確率を用いてCMPPを特徴づけ、それらを通常の複合ポアソン過程に還元する。
• 進行的同等測度の構成を可能にするために、$ Q $ と $ P $ の間のラドン＝ニコディム微分を導出する。
• 命題3.4を適用し、$ Q $-マーティングールの密度過程を元のCMPP構造に基づいて特徴づける。
• 定理4.3を用いて、進行的同等性の下でCMPP性質を保つすべての測度 $ Q $ を特定する。
• 結果を応用して、進行的同等マーティングール測度（PEMM）を誘導する広範なクラスの定常確率過程を構成する。
• 定理5.3を用いてNFLVR条​​件を確立し、構築された市場モデルにおけるアービタージュの不在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度 $ P $ における複合混合ポアソン過程が、進行的同等測度 $ Q $ の下でもCMPPの性質を保つための条件は何か？
• RQ2 CMPPの文脈において、$ Q $ と $ P $ の間のラドン＝ニコディム微分を正規条件付き確率の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ3 どのような確率過程のクラスが、CMPP構造を保つ進行的同等マーティングール測度を誘導するか？
• RQ4 測度変更がCMPPフレームワークにおける期待発生回数とペイオフサイズに与える影響は何か？
• RQ5 測度 $ Q $ におけるCMPP性質の保存が、NFLVR条件を満たす市場における保険料計算原理に与える影響は何か？

主な発見

• 定理4.3は、$ P $-CMPPが $ Q $ の下でもCMPPの性質を保つすべての進行的同等測度 $ Q $ を完全に特徴づける。これは、Delbaen & Haezendonck (1989) の結果を一般化する。
• $ Q $ と $ P $ の間のラドン＝ニコディム微分は、発生回数プロセスとペイオフサイズプロセスの正規条件付き分布によって完全に決定される。
• 例6.2では、測度変更により期待発生回数と期待ペイオフサイズの両方が増加し、$ p(Q) = 810 $、$ p(P) = 5 $ となり、$ \theta > 1/2 $ のとき条件(13)を満たす。
• 例6.3では、$ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[X_1] = 2 $ かつ $ \mathbb{E}_{Q}[N_1] = (c+1)^2 J(c) $ であり、$ J(c) \in (0,\infty) $ であるため $ p(Q) < \infty $ が保証され、$ \theta $ に関する2次不等式を満たすと条件(14)が成立する。
• 定理5.3の下で、$ V_t(\varTheta) = S_t - 10t\varTheta^2 $ はNFLVR条件を満たし、構築された市場におけるアービタージュの不在を確認する。
• 系4.6で構築されたペア $ (g, Q) $ により、$ Q_{\theta} $ が適切な複合ポアソン過程であることが保証され、$ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[N_1] = g(\theta) $ かつ $ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[X_1] = 2 $ であり、$ Q $ の下でのCMPP構造の有効性が裏付けられる。