[論文レビュー] A Characterization of Metric Projection in CAT(0) Spaces

Hossein Dehghan, Jamal Rooin|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、quasilinearization を用いた CAT(0) 空間における距離射影の特徴付けを提供し、点 $ u \in C $ が点 $ x \in X $ の閉凸部分集合 $ C $ への距離射影であるための必要十分条件として、すべての $ y \in C $ に対して $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ が成り立つこと、すなわち、ヒルベルト空間における射影の性質を非正曲率の距離空間へ一般化した変分不等式条件を確立している。

ABSTRACT

In this paper, we present a characterization of metric projection in CAT(0) spaces by using the concept of quasilinearization. Furthermore, some basic properties of matric projection are investigated.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間からの既知の結果を拡張する目的として、quasilinearization を用いた CAT(0) 空間における距離射影の特徴付けを達成すること。
• 与えられた点から閉凸部分集合への距離射影である点であるための必要十分条件を確立すること。
• 距離射影の境界における挙動を調査し、射影が集合の境界上にあることを示すこと。
• ハダマール空間における距離射影作用素が強非拡大的であり、単調的かつ非拡大的であることを証明すること。

提案手法

• 内積を持たない空間における内積の代わりに、$ \langle \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{cd} \rangle = \frac{1}{2}(d^2(a,d) + d^2(b,c) - d^2(a,c) - d^2(b,d)) $ として定義される quasilinearization 写像を用いる。
• 空間が CAT(0) であるための必要十分条件として成り立つ、CAT(0) 空間におけるコーシー・シュワルツの不等式を用いて、変分不等式を導出する。
• geodesic convexity 不等式 (1.3): $ d^2(\lambda x \oplus (1-\lambda)y, z) \leq \lambda d^2(x,z) + (1-\lambda)d^2(y,z) - \lambda(1-\lambda)d^2(x,y) $ を用いて距離射影を分析する。
• 有向線分を表すベクトル記法 $ \overrightarrow{xy} $ を用い、geodesic 上の点に対して $ \langle \overrightarrow{zy}, \overrightarrow{zw} \rangle \leq \lambda \langle \overrightarrow{xy}, \overrightarrow{zw} \rangle $ という不等式を導出する。
• 極限 $ \lambda \to 0^+ $ における連続性の議論を適用し、射影に対する最終的な変分不等式を導出する。
• 完備な CAT(0) 空間がハダマール空間であるという事実を活用し、距離射影が強非拡大的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(0) 空間において、点 $ u \in C $ が点 $ x \in X $ の距離射影であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 内積が存在しない状況において、quasilinearization を用いて CAT(0) 空間における距離射影の概念をどのように特徴付けられるか？
• RQ3 閉凸部分集合への点の距離射影は、集合の内部にあるのか、それとも境界上にあるのか？
• RQ4 ハダマール空間における距離射影作用素は強非拡大的であるか？その固定点理論への影響は何か？

主な発見

• 距離射影 $ u = P_C x $ が成り立つための必要十分条件は、すべての $ y \in C $ に対して $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ が成り立つことであり、これは CAT(0) 空間における変分的特徴付けを提供する。
• 距離射影 $ P_C x $ は常に集合 $ C $ の境界 $ \partial C $ 上に位置する。これは、空間が退化でない限り、内部の点にはなり得ないことを意味する。
• ハダマール空間において、距離射影作用素 $ P_C: X \to C $ は強非拡大的であり、すべての $ x, y \in X $ に対して $ \langle \overrightarrow{xy}, \overrightarrow{P_C x P_C y} \rangle \geq d^2(P_C x, P_C y) $ を満たす。
• 強非拡大的であるという性質から、距離射影作用素は単調的かつ非拡大的であることも従う。
• 証明は quasilinearization フレームワークと geodesic convexity 不等式 (1.3) に依拠しており、これは CAT(0) 空間を特徴付ける。
• この結果により、ヒルベルト空間における距離射影の特徴付けが、非正曲率の距離空間へ一般化され、このような空間における最適化および固定点理論のための道具が得られた。