[論文レビュー] A Chiang-type Lagrangian in CP2

Ana Cannas da Silva|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{RP}^2$ の非標準的ラグランジュ埋め込みを $\mathbb{CP}^2$ 内に $SU(2)$-軌道として構成し、円作用の下で、縮約された $\mathbb{CP}^1$ 内の大円の1対1の横断的リフトであることを示している。主な結果は、このラグランジュ多様体が単調であり、シンプレクティック縮約のもとでも単調であることであり、最小マスロフ指数3で非自明なフローリングホモロジーを持つチアン型の例を提供している。

ABSTRACT

We analyse a simple Chiang-type lagrangian in CP2 which is topologically an RP2 but exhibits a distinguishing behaviour under reduction by one of the toric circle actions, in particular it is a one-to-one transverse lifting of a great circle in CP1.

研究の動機と目的

• $SU(2)$-作用と表現論を用いて、$\mathbb{CP}^2$ 内に非標準的ラグランジュ $\mathbb{RP}^2$ を構成すること。
• $\mu_2$ をモーメント写像とする円作用によるシンプレクティック縮約の下でのその挙動を分析すること。
• このラグランジュ多様体が、縮約された $\mathbb{CP}^1$ 内の大円の1対1の横断的リフトであることを示すこと。
• その単調性を確立し、フローリングホモロジーを計算することで、これがチアン型ラグランジュ多様体であることを確認すること。

提案手法

• $\mathcal{L}_2$ を $\mathbb{CP}^2$ 内の点 $[1:0:1]$ の $SU(2)$-軌道として定義し、$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ で $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ を満たすようにパラメータ化する。
• $X = \Re(\alpha^2 + \beta^2)$, $Y = \Im(\alpha^2 + \beta^2)$, $Z = 2\Im(\bar{\alpha}\beta)$ の実座標を用いて、$S^2 / \pm 1$ を介して $\mathcal{L}_2 \simeq \mathbb{RP}^2$ を示す。
• $\mathcal{L_2}$ が $SU(2)$-作用のもとで等長的であり、$\mu_2 = -1/6$ のレベル集合上にあることから、$\mathcal{L}_2$ がラグランジュ的であることを示す。
• 第二の円作用における $\mu_2^{-1}(-1/6)$ との交差の横断性と単射性を証明し、$\mathbb{CP}^1$ への1対1のリフトが保証されることを確認する。
• 複素座標の比較を用いて、$\mathcal{L}_2$ の異なる点が第二の円作用で関係付けられるのは、位相が自明である場合に限ることを示し、単射性を確認する。
• $Biran$ と $Cornea$、および $Li$ と $Wu$ の結果を応用し、単調性とすべての $k \in \mathbb{Z}$ に対して $HF_k(\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_2) \simeq \mathbb{Z}_2$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的 $\mathbb{RP}^2$ ラグランジュ多様体を $SU(2)$-作用を用いて $\mathbb{CP}^2$ 内に構成し、それが単調であることを示すことができるか？
• RQ2 このラグランジュ多様体は、シンプレクティック縮約のもとで、縮約された $\mathbb{CP}^1$ 内の大円の1対1の横断的リフトとして生じるか？
• RQ3 このラグランジュ多様体のフローリングホモロジーは何か？ また、チアン型ラグランジュ多様体の不変量と一致するか？
• RQ4 このラグランジュ多様体は、複素共役による標準的 $\mathbb{RP}^2$ と比べて、位相的および力学的にどのように異なるか？
• RQ5 縮約されたラグランジュ多様体 $\mathbb{CP}^1$ 内で単調であるか？ また、$a = -1/6$ のレベル選択がこれを保証するか？

主な発見

• $\mathcal{L}_2$ は $\mathbb{RP}^2$ と微分同相であり、$\mathbb{CP}^2$ 内の点 $[1:0:1]$ の $SU(2)$-軌道として得られ、安定化部分群は $\mathbb{Z}_2 \times S^1$ に同型である。
• $\mathcal{L}_2$ は $SU(2)$-作用のもとで等長的であり、Fubini-Study のシンプレクティック形式のもとでラグランジュ的であることが、表現論的解析によって確認された。
• $\mathcal{L}_2$ と $\mu_2^{-1}(-1/6)$ の交差は、第二の円作用のもとで横断的かつ単射的であり、1対1の横断的リフトであることが保証される。
• $\pi$ による射影写像の下で、$\mathcal{L}_2 \cap \mu_2^{-1}(-1/6)$ の像は $\mathbb{CP}^1$ 内の大円であり、レベル選択に起因して単調性を引き継ぐ。
• $\mathbb{CP}^1$ 内の縮約ラグランジュ多様体 $\ell_2 \subset \mathbb{CP}^1$ は大円であり、したがって単調であり、全面積は $2\pi/3$ である。
• 元のラグランジュ多様体 $\mathcal{L}_2$ は最小マスロフ指数3で単調であり、すべての $k \in \mathbb{Z}$ に対して $HF_k(\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_2) \simeq \mathbb{Z}_2$ である。これは、それがチアン型ラグランジュ多様体であることを確認する。