[論文レビュー] A class of abstract delay differential equations in the light of suns and stars

Sebastiaan G. Janssens|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Banach空間における有界でない線形作用素をもつ抽象遅延微分方程式（DDE）のクラスと、非太陽反射的設定における双対摂動理論を用いた弱*型積分方程式との間の対応関係を確立する。主な貢献は、状態空間が太陽反射的でない場合であっても、関連する抽象積分方程式における畳み込み積分がwell-definedであり、標準埋め込みの像値域に値をとることを示したことである。これにより、非線形DDEに太陽スター計算を適用することが可能になる。

ABSTRACT

Using dual perturbation theory in a non-sun-reflexive context, we establish a correspondence between 1. a class of nonlinear abstract delay differential equations (DDEs) with unbounded linear part and an unknown taking values in an arbitrary Banach space and 2. a class of abstract weak* integral equations of convolution type involving the sun-star adjoint of a translation-like strongly continuous semigroup. For this purpose we also characterize the sun dual of the underlying state space. More generally we consider bounded linear perturbations of an arbitrary strongly continuous semigroup and we comment on some implications for the particular case of abstract DDEs.

研究の動機と目的

• 任意のBanach空間における有界でない線形部をもつ抽象DDEに、双対摂動理論を拡張すること。
• 状態空間が太陽反射的でない場合でも、太陽スター枠組みの有効性を保ちながら、その適用を可能にすること。
• 遅延方程式のための基礎となる状態空間の太陽双対を特定すること。
• 抽象DDEの弱い解と、太陽スター随伴を含む弱*型積分方程式の解との間の対応関係を確立すること。
• 古典的または有限次元の状況にとどまらず、無限次元かつ有界でない設定へと、双対摂動理論の適用範囲を一般化すること。

提案手法

• 非太陽反射的状況における双対摂動理論を用い、抽象DDEと弱*積分方程式との関係を確立する。
• 翻訳的性質の半群の双対空間上における太陽スター随伴を導入することで、太陽スター計算の枠組みを定義する。
• 状態空間 $X = C([-h,0]; Y)$ の太陽双対を、随伴半群 $T_0^*$ に関して強く連続である関数型の部分空間として特徴付ける。
• ベクトル値弱*リーマン積分を用いて、$X^{owtieowtie}$ 上での畳み込み積分を定義し、太陽反射的でない場合でも収束を保証する。
• 標準埋め込み $j: X \to X^{owtie\star}$ を用い、積分作用素の像上では $j^{-1}$ がwell-definedであることを示す。
• DDEの解が、$T_0^\odot^*$ と非線形作用素 $G$ を含む抽象積分方程式の弱い解に対応することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非太陽反射的状態空間における有界でない線形作用素をもつ抽象DDEに、双対摂動理論を拡張することは可能か？
• RQ2 状態空間 $X = C([-h,0]; Y)$ が太陽反射的でない場合、太陽スター枠組みはどのように適用可能になるか？
• RQ3 関連する積分方程式における弱*畳み込み積分がwell-definedであり、標準埋め込み $j$ の像値域に値をとることを保証する条件は何か？
• RQ4 抽象DDEの解は、太陽スター設定における対応する弱*積分方程式の解とどのように関係するか？
• RQ5 非線形DDEのダイナミクスを特徴付けるために、太陽スター随伴半群 $T_0^{\odot\star}$ が果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、抽象DDEの弱い解と、太陽スター随伴半群を含む畳み込み型の弱*積分方程式の解との間の全単射対応関係を確立する。
• 状態空間 $X$ が太陽反射的でない場合であっても、抽象積分方程式における畳み込み積分は、標準埋め込み $j$ の像値域に値をとり、解の公式における $j^{-1}$ の使用を正当化する。
• 状態空間 $X = C([-h,0]; Y)$ の太陽双対は、双対空間 $X^*$ の部分空間 $X^\odot$ として特徴付けられ、これは随伴半群 $T_0^*$ に関して強く連続な関数型からなる。
• DDEの解が、$T_0^\odot^*$ と非線形作用素 $G$ を含む抽象積分方程式の弱い解に等価であることが示された。ここで $G$ は $X$ を $X^{\bowtie\star}$ に写像する。
• この枠組みにより、任意の強連続半群に対する有界線形摂動が可能となり、双対摂動理論の適用範囲が、有界でない生成子をもつ抽象DDEへと拡張される。
• 既存理論を一般化し、抽象DDE、再生方程式、結合系の解析を、太陽スター計算に基づく単一の関数解析的枠組みで統一する。