[論文レビュー] A Class of Anomaly-Free Gauge Theories

Gert Roepstorff|ArXiv.org|May 9, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、U(n) や SU(n) のゲージ群の可約表現の異常係数を、外積代数 ⋀ℂⁿ に作用するリーヒューリング生成子の対称化積のトレースおよびスーパitrace を計算することによって分析する。主な結果は、G ⊂ SU(n) のとき、すべての n ≠ 3 に対してこれらの異常係数が消えることである。SU(3) はその特別なトレース構造のため唯一の例外であり、これは標準模型の異常キャンセレーションが偶然ではなく、より広いクラスの異常フリー理論に属する理由を説明する。

ABSTRACT

We report on a detailed calculation of the anomaly coefficients for the odd and even parts of the $Z_2$-graded representation $θ$ of the Lie algebra Lie$ G$ on the exterior algebra of dimension $2^n$ assuming that $G\subset U(n)$. The coefficients vanish provided $G\subset SU(n)$ and $n e3$. The singular role of the gauge group SU(3) is emphasized. The Standard Model is covered by this result.

研究の動機と目的

• U(n) や SU(n) を基盤とするカイラルゲージ理論が、どのような条件下でゲージ異常を避けるかを特定すること。
• U(n) の外積代数表現における生成子の対称化積のトレースおよびスーパitrace を分析すること。
• SU(3) が、単純かつトレースレスであるにもかかわらず異常係数が消えない特殊なケースとして果たす役割を特定すること。
• 標準模型における異常キャンセレーション機構を、より広い可約表現のクラスへ一般化すること。

提案手法

• G ⊂ U(n) のもとで、Lie(G) の表現 θ について、トレース Tr(θ(a){θ(b),θ(c)}) およびスーパitrace Str(θ(a){θ(b),θ(c)}) を計算する。
• 生成関数および z-変形を用いて、トレースを z の多項式として表現し、z = ±1 がそれぞれトレースおよびスーパitrace を表す。
• 生成子 a, b, c のトレースおよび対称化積を用いて、異常係数 α₁, α₂, α₃ の明示的公式を導出する。
• z = 1（通常のトレース）および z = -1（スーパitrace）のケースに適用し、結果を対称および反対称部に分解する。
• SU(n) 及びその部分群に焦点を当てるために、tr(a) = tr(b) = tr(c) = 0 の条件を課し、異常係数を単純化する。
• n = 2, 3, および n ≥ 4 における係数の振る舞いを分析し、n = 3 が特異的役割を果たすことを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可約表現の U(n) ゲージ群が外積代数に作用する場合、どのような条件下で異常係数が消えるか？
• RQ2 なぜ標準模型の異常キャンセレーションが単なる偶然ではないのか？ それはどのような一般クラスの理論に属するか？
• RQ3 なぜ SU(3) は、トレースレスであるにもかかわらず異常係数が消えない特殊なケースとなるのか？
• RQ4 外積代数構成における基本表現の次元 n が、異常係数にどのように依存するか？
• RQ5 標準模型における異常キャンセレーションは、特定の群や表現を超えて、より一般の代数的構造から導けるか？

主な発見

• G ⊂ SU(n) のとき、すべての n ≠ 3 に対して異常係数が消える。これは、すべてのこのような群に対して理論が異常フリーであることを意味する。
• n = 3 のとき、異常係数 Tr(θ⁺(a){θ⁺(b),θ⁺(c)}) = ∓tr(a{b,c}) は消えないため、SU(3) がこのクラスにおける唯一の例外である。
• スーパitrace 係数 Str(θ(a){θ(b),θ(c)}) はすべての n ≥ 4 で消え、n = 2 のときは tr(a[b,c]) に比例するが、非自明な異常を生じるのは唯一 n = 3 のときである。
• n ≥ 3 のとき、スーパitrace の反対称部は消えるが、n = 2 のときは構造定数に比例する。
• 結果は U(n) や SU(n) に限らず、GL(n,ℂ) や SL(n,ℂ) に対しても成り立つため、キャンセレーションの代数的性質が示される。
• 標準模型における異常キャンセレーションは奇跡ではなく、G ⊂ SU(5) かつフェルミオン内容が ⋀⁻ および ⋀⁺ 表現に従うこの一般クラスの表現の結果である。