[論文レビュー] A class of chemotaxis systems with growth source and nonlinear secretion

Zhi‐An Wang, Tian Xiang|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、非線形なシグナル生成とロジスティック型の成長源を伴う放物型-楕円型のキモタクシス系を研究し、以下の3つの条件下で古典的解の全域的存在および一様有界性を証明している：(1) $\kappa < 2/n$ かつ $f \equiv 0$、(2) $\theta > \kappa + 1$、(3) $\theta - \kappa = 1$ かつ $b \geq \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$。さらに、大きなキモタクシス感受性 $\chi$ に対してパターン形成を確立し、$\chi$ が小さいか、ダンピング $b$ が大きい場合には定常状態への収束を示し、先行研究を臨界閾値まで拡張している。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with a class of parabolic-elliptic chemotaxis systems encompassing the prototype $$\left\{\begin{array}{lll} &amp;u_t = abla\cdot( abla u-χu abla v)+f(u), &amp; x\in Ω, t&gt;0, \\[0.2cm] &amp;0= Δv -v+u^κ, &amp; x\in Ω, t&gt;0 \end{array} ight. $$ with nonnegative initial condition for $u$ and homogeneous Neumann boundary conditions in a smooth bounded domain $Ω\subset \mathbb{R}^n(n\geq 2)$, where $χ&gt;0$, $κ&gt;0$ and $f$ is a smooth growth source satisfying $f(0)\geq 0$ and $$ f(s)\leq a-bs^θ, \quad s\geq 0, ext{with some} a\geq 0, b&gt;0, θ&gt;1. $$ Firstly, it is shown, either $$ κκ+1, $$ or $$ θ-κ=1, \ \ b\geq \frac{(κn-2)}{κn}χ, \eqno(*) $$ that the corresponding initial-value problem admits a unique classical solution that is uniformly bounded in space and time. Our proof is elementary and semigroup-free. Whilst, with the particular choices $θ=2$ and $κ=1$, Tello and Winkler \cite{TW07} use sophisticated estimates via the Neumann heat semigroup to obtain the global boundedness under the strict inequality in ($\ast$). Thereby, we improve their results to the "borderline" case $b=(κn-2)/(κn)χ$ in this regard. Next, for an unbounded range of $χ$, the system is shown to exhibit pattern formations, and, the emerging patterns are shown to converge weakly in $ L^θ(Ω)$ to some constants as $χ ightarrow \infty$. While, for small $χ$ or large damping $b$, precisely $b&gt;2χ$ if $f(u)=u(a-bu^κ)$ for some $a, b&gt;0$, we show that the system does not admit pattern formation and the large time behavior of solutions is comparable to its associated ODE+algebraic system.

研究の動機と目的

• 非線形的シグナル生成およびロジスティック型成長源を有する放物型-楕円型キモタクシス系に対して、古典的解の全域的存在および一様有界性を確立すること。
• 爆発を防ぎ、解の有界性を保証するキモタクシス感受性 $\chi$ およびダンピングパramータ $b$ の臨界閾値を特定すること。
• 解の長時間挙動を分析し、定常状態への収束および $\chi \to \infty$ のときのパターン形成の発生を明らかにすること。
• Tello よりも Winkler の先行研究を拡張し、特に $b = \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$ の境界ケースにおいても有界性を証明することに成功し、半群理論に依存しないこと。

提案手法

• エネルギー型推定と最大原理の応用に基づく、半群理論を用いない初等的な手法を採用する。
• 比較関数の正負部分の $L^2$ ノルムに関する微分不等式を導出することで、一様有界性を確立する。
• 楕円型方程式 $-\Delta v + v = u^\kappa$ に最大原理を適用し、シグナル濃度 $v$ を $u^\kappa$ で制御する。
• 長時間安定性の解析では、系を関連する常微分方程式と代数方程式の組み合わせ系と比較し、位相線解析と成長関数 $f$ に関する新しい条件 (6.24) を用いて安定性条件を導出する。
• 無限遠での絶滅を回避するための比較系を導入し、解がゼロから離れて有界であることを保証する。
• 定常状態への収束は、平衡集合の構造と常微分方程式系の安定性を活用し、$L^\infty$ ノルムにおける指数的減衰推定によって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形的分泌および成長源を有するキモタクシス系が、パラメータ $\kappa$, $\theta$, $b$, $\chi$ に関してどのような条件下で、全域的有界な古典的解をもつのか。
• RQ2 有界性の結果を、以前は厳密不等式が要求されていた臨界ケース $b = \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$ にまで拡張できるか。
• RQ3 解の長時間挙動は、キモタクシス感受性 $\chi$ およびダンピングパramータ $b$ にどのように依存するか。
• RQ4 $\chi$ が大きい場合に系はパターン形成を示すか。もしそうであれば、$\chi \to \infty$ のときのパターンの振る舞いはいかなるものか。
• RQ5 解が定常状態に収束する条件は何か。また、その挙動は関連する常微分方程式＋代数方程式系と比べてどのように異なるか。

主な発見

• 系は、$\kappa < 2/n$ かつ $f \equiv 0$、または $\theta > \kappa + 1$、または $\theta - \kappa = 1$ かつ $b \geq \frac{\kappa n - 2}{\kappa n}\chi$ のいずれかの条件下で、一意的な古典的解が空間的・時間的に一様に有界に存在する。臨界閾値を含む。
• 証明は初等的であり、Neumann ヒート半群の推定に依存しない。これにより、Tello よりも Winkler の結果を改善し、ダンピング条件に厳密不等式を必要としなくなった。
• 十分に大きな $\chi$ に対して、系はパターン形成を示し、発生するパターンは $\chi \to \infty$ のとき $L^\theta(\Omega)$ で弱収束して定数に近づく。
• $\chi$ が小さいか、$b > 2\chi$（$f(u) = u(a - b u^\kappa)$ の場合）であると、パターン形成は発生せず、長時間挙動は関連する常微分方程式＋代数方程式系と類似する。
• 成長関数が $f(u) \leq \sigma - \mu u^{\kappa+1}$ を満たし、$\mu > \chi$ かつ追加条件 (6.24) を満たす場合、解は $L^\infty$ ノルムにおいて指数的収束を示し、常微分方程式系の任意の局所安定平衡点 $(z_j, z_j^\kappa)$ に収束する。
• 定常状態への収束は指数的であり、適切な初期データの制約のもとで定数定常状態 $(z_j, z_j^\kappa)$ は局所的指数的漸近安定性を有する。