[論文レビュー] A class of CTRWs: Compound fractional Poisson processes

Enrico Scalas|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Mar 3, 2011

Point processes and geometric inequalities被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ポアソン数え上げ過程をミタグ・レフラー（分数）数え上げ過程に置き換えることで、Lévy過程の一般化としての複合分数ポアソン過程（CFPP）を導入している。これにより、非マルコフ的かつ非Lévyな過程が得られる。主な貢献は、CFPPが適切なスケーリングのもとで弱収束し、分数ポアソン過程に従属する$α$-安定Lévy過程に収束することを示す関数極限定理の導出であり、空間・時間分数拡散方程式と関連づけている。

ABSTRACT

This chapter is an attempt to present a mathematical theory of compound fractional Poisson processes. The chapter begins with the characterization of a well-known Lévy process: The compound Poisson process. The semi-Markov extension of the compound Poisson process naturally leads to the compound fractional Poisson process, where the Poisson counting process is replaced by the Mittag-Leffler counting process also known as fractional Poisson process. This process is no longer Markovian and Lévy. However, several analytical results are available and some of them are discussed here. The functional limit of the compound Poisson process is an $α$-stable Lévy process, whereas in the case of the compound fractional Poisson process, one gets an $α$-stable Lévy process subordinated to the fractional Poisson process.

研究の動機と目的

• 古典的複合ポアソン過程の一般化として、複合分数ポアソン過程（CFPP）の数学的理論を構築すること。
• CFPPを、ポアソン過程に置き換えたミタグ・レフラー数え上げ過程を用いた半マルコフ拡張として特徴づけること。
• CFPPの関数的極限挙動と空間・時間分数拡散方程式との関連を調査すること。
• 適切なスケーリングのもとで、CFPPが弱収束して分数ポアソン過程に従属する$α$-安定Lévy過程に収束することを確立すること。
• CFPPが安定分布および分数拡散に関連するスケーリング限界を示す解析的結果と条件を提供すること。

提案手法

• CFPPは、$ Y(t) = \sum_{i=1}^{N_{\alpha}(t)} X_i $ として定義され、$ N_{\alpha}(t) $ はミタグ・レフラー分布の間隔を持つ分数ポアソン過程である。
• 特性関数を用いた解析により、ミタグ・レフラー分布のラプラス変換とジャンプサイズ分布の母関数を用いる。
• 弱収束は、スケーリングされたCFPPの特性関数が、従属する$α$-安定Lévy過程の特性関数 $ E_{\beta}(-t^{\beta}|\kappa|^{\alpha}) $ に収束することを示すことによって確立される。
• 収束は、$ h^\alpha / r^\beta \to 1 $ の条件下で証明され、$ h $ と $ r $ はそれぞれジャンプサイズと間隔時間のスケーリングを表す。
• 空間・時間分数拡散方程式のコーシー問題を介して、分数拡散へのリンクを確立し、その解がグリーン関数 $ u_{\alpha,\beta}(x,t) $ として与えられることを示した。
• 理論的結果は、安定分布の吸引域に関する既知の結果と、従属の理論に基づき、収束が$α$-安定分布の吸引域から導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン過程をミタグ・レフラー数え上げ過程に置き換えることで、複合ポアソン過程のマルコフ性およびLévy性はどのように変化するか？
• RQ2 ジャンプサイズと間隔時間の適切なスケーリングのもとで、複合分数ポアソン過程の関数的極限は何か？
• RQ3 複合分数ポアソン過程は、そのスケーリング限界を通じて空間・時間分数拡散方程式と関連づけられるか？
• RQ4 CFPPの特性関数が、従属する$α$-安定Lévy過程の特性関数に収束する条件は何か？
• RQ5 $α$-安定分布の吸引域は、CFPPが分数拡散過程に収束する過程において果たす役割は何か？

主な発見

• ミタグ・レフラー数え上げ過程が導入する長距離依存性により、複合分数ポアソン過程はLévy過程でもマルコフ過程でもない。
• スケーリング $ h^\alpha / r^\beta \to 1 $ の下で、CFPPの関数的極限は、分数ポアソン過程に従属する$α$-安定Lévy過程である。
• スケーリングされたCFPPの特性関数は、$ E_{\beta}(-t^{\beta}|\kappa|^{\alpha}) $ に収束し、これは従属過程 $ L_{\alpha}(N_{\beta}(t)) $ に対応する。
• 空間・時間分数拡散方程式の解は、$ u_{\alpha,\beta}(x,t) = t^{-\beta/\alpha} W_{\alpha,\beta}(x/t^{\beta/\alpha}) $ として与えられ、ここで $ W_{\alpha,\beta} $ は安定型密度関数である。
• ジャンプサイズ分布が $ \widehat{f}_X(h\kappa) \sim 1 - h^\alpha |\kappa|^\alpha $ を満たす場合に収束が成立し、これは対称$α$-安定分布の吸引域にある分布が満たす条件である。
• 結果は、CFPPが弱収束して従属する$α$-安定過程に至ることを確認し、古典的極限定理を分数的設定へと拡張している。