[論文レビュー] A Class of Distal Functions on Semitopological Semigroups

Ali Jabbari, Hamid Reza Ebrahimi Vishki|ArXiv.org|Feb 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Namiokaの定理を用いて、$\mathbb{Z}$ 上の関数のノルム閉じた代数としてのウェイユ代数を、一般の局所トポロジカル半群へ一般化する。$W_k$ および $W$ の段階的代数を定義し、それらのすべての要素が距離関数であることを証明する。また、自明でない関数型の明示的特徴付けを、双円的半群上での $W_1$ および $W_2$ に対して行い、それらが特定の指数関数型関数から成ることを示す。

ABSTRACT

The norm closure of the algebra generated by the set $\{n\mapsto λ^{n^k}:$ $λ\in{\mathbb {T}}$ and $k\in{\mathbb{N}}\}$ of functions on $({\mathbb {Z}}, +)$ was studied in \cite{S} (and was named as the Weyl algebra). In this paper, by a fruitful result of Namioka, this algebra is generalized for a general semitopological semigroup and, among other things, it is shown that the elements of the involved algebra are distal. In particular, we examine this algebra for $({\mathbb {Z}}, +)$ and (more generally) for the discrete (additive) group of any countable ring. Finally, our results are treated for a bicyclic semigroup.

研究の動機と目的

• 元々 $({\mathbb{Z}},+)$ 上で定義されたウェイユ代数の概念を、一般の局所トポロジカル半群へ拡張すること。
• 一般化された代数 $W$ に属するすべての関数が距離関数であることを証明し、$({\mathbb{Z}},+)$ 上での既知の結果を拡張すること。
• 双円的半群上での $W_1$ および $W_2$ の構造を特徴づけ、明示的な関数形を与えること。
• 新しい代数的枠組みを用いて、可算環上の多項式の特徴関数の距離性に関するフィラリの結果を一般化すること。

提案手法

• トポロジカル中心 $\Sigma$ を含む、再帰的翻訳条件を用いて、$F_k \subseteq LMC(S)$ の乗法的部分半群の階層を定義する。
• $F_k$ が生成する代数のノルム閉包として $W_k$ を構成し、$\bigcup_k W_k$ の一様閉包として $W$ を定義する。
• Namiokaの結果（定理 3.5）を用いて、代数的構造が距離性を保つことを保証する。
• $F_k$ が左翻訳および $\Sigma$ の作用に関して不変であることを証明し、$W_k$ が $m$-適応的であることを保証する。
• 双円的半群に対して、$R_p f = f_p f$ および $R_q f = f_q f$ から導かれる関数方程式を解くことにより、$F_1(S)$ および $F_2(S)$ を明示的に計算する。
• 得られた関数が、$\lambda, \mu, \nu \in \mathbb{T}$ を含む指定された指数関数形と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathbb{Z},+)$ 上でのウェイユ代数の構成を、一般の局所トポロジカル半群へ一般化し、距離性を保ったまま行えるか。
• RQ2 双円的半群上での $W_1$ および $W_2$ に属する関数の明示的構造は何か。
• RQ3 $W(S)$ が $\mathbb{C}$ に縮退する条件は何か。これは半群の構造に対して何を示唆するか。
• RQ4 $m$-適応的代数枠組みは、異なる半群にわたる距離関数の統一的取り扱いをどのように可能にするか。

主な発見

• 任意の局所トポロジカル半群上での代数 $W$ のすべての要素が距離関数であることを証明し、Knapp および Namioka の $({\mathbb{Z}},+)$ 上の結果を一般化した。
• 生成元 $1,p,q$ および $pq=1\ne qp$ を持つ双円的半群 $S$ に対して、$W_1(S)$ は関数 $q^m p^n \mapsto \mu^r \nu^{1-r}$ から成り、$r=m-n$ かつ $\mu,\nu \in \mathbb{T}$ である。
• 同じ半群に対して、$W_2(S)$ は関数 $q^m p^n \mapsto \lambda^{(r^2 - r)/2} \mu^{(r^2 + r)/2} \nu^{1 - r^2}$ から成り、$r=m-n$ かつ $\lambda,\mu,\nu \in \mathbb{T}$ である。
• 双円的半群において $p$ もしくは $q$ が冪等元である場合、すべての $i$ に対して $W(S) = W_i(S) = \mathbb{C}$ となる。これはすべての関数が定数関数であることを意味する。
• この構成により、可算環上の多項式 $q(t)$ に対して $\chi(q(t))$ の距離性に関するフィラリの結果を体系的に回復できる。