[論文レビュー] A Class of Distributions for Linear Demand Markets

Stefanos Leonardos, Costis Melolidakis|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Supply Chain and Inventory Management参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿は線形需要市場における減少一般化平均残余需要（DGMRD）分布のクラスを導入し、需要分布がDGMRDでありかつ2次のモーメントが有限である場合、最適価格が存在し一意であることを示している。最適価格は平均残余需要（MRD）関数の不動点に対応することを確立し、不連続な区間における混合を許容するように広く用いられる増加一般化失敗率（IGFR）性質を一般化している。

ABSTRACT

In this paper, we study distributions that describe markets with linear stochastic demand. We express the price elasticity of expected demand in terms of the mean residual demand (MRD) function of the demand distribution and characterize optimal prices or equivalently, points of unitary elasticity, as fixed points of the MRD function. This leads to economic interpretable conditions on the demand distribution under which such fixed points exists and are unique. In particular, markets with increasing price elasticity of expected demand that eventually become elastic correspond to distributions with decreasing generalized mean residual demand (DGMRD) and finite second moment. DGMRD distributions strictly generalize the widely used increasing generalized failure rate (IGFR) distributions. In real life economic applications, they arise naturally as mixtures of (possibly) IGFR distributions over disjoint intervals. We further elaborate on the relationship of the two classes and link their limiting behavior at infinity. We examine moment and closure properties of the DGMRD distributions that are important in economic applications and illustrate our results with examples.

研究の動機と目的

• 不連続な需要区間を伴う現実の経済的状況をモデル化する際のIGFR性質の限界を解消すること。
• 線形需要市場における収益関数が単峰的である条件を特定し、一意な最適価格を保証すること。
• IGFR性質を不連続な区間における混合を含むより広い分布クラスへ一般化すること。
• 最適価格の存在と一意性を保証する需要分布に関する解析的条件を確立すること。

提案手法

• 線形需要 D(p|α) = (α − p)+ に対して、売り手の期待収益関数 R(p) = p·E[D(p|α)] を定式化する。
• 最適価格の1階条件を p = −E[D(p|α)] / d/dp E[D(p|α)] として表現し、期待需要の価格価格弾力度と関連付ける。
• 平均残余需要（MRD）関数 m(p) = E[(α − p)+ | α > p] / P(α > p) を定義し、価格 p を超える期待残余需要を特徴づける。
• 最適価格が平均残余需要（MRD）関数の不動点に対応することを示し、すなわち p = m(p) の解として得られることを示す。
• DGMRD性質をIGFRの一般化として導入し、定義域上で一般化平均残余需要が減少することを特徴とする。
• 特に不連続な区間における分布の混合に関して、DGMRD分布のモーメントおよび閉包性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形確率的需要市場において、需要分布がどのような条件下で一意な最適価格を有するか？
• RQ2 DGMRD性質は広く用いられるIGFR性質とどのように関係し、どのような点で一般化しているか？
• RQ3 不連続な区間におけるIGFRまたはDGMRD分布の混合は、依然としてDGMRD条件を満たすことができるか？
• RQ4 DGMRD分布のモーメントおよび閉包性質、特に混合操作下での性質は何か？
• RQ5 MRD関数の形状が、単位価格弾力性を示す点の位置と一意性をどのように決定するか？

主な発見

• 需要分布がDGMRDであり、かつ2次のモーメントが有限である限り、線形需要市場における最適価格は存在し一意である。
• 最適価格は正確に平均残余需要（MRD）関数の不動点に対応し、すなわち p = m(p) の解として得られる。
• DGMRDクラスはIGFRクラスを厳密に一般化しており、不連続な区間における分布の混合を含むが、IGFRではカバーされないものを含む。
• DGMRD分布は経済的応用において、不連続な区間における（可能なかぎりIGFRである）分布の混合として自然に生じ、シナリオベースのモデリングを可能にする。
• MRD関数は収益関数の価格弾力度曲線を完全に決定し、その形状が収益関数の単峰性を支配する。
• DGMRD条件はIGFRよりも技術的に複雑であるが、非連結なサポートを有するより豊かな需要構造のモデリングを可能にする。