[論文レビュー] A Class of Generalized Mixed Variational-Hemivariational Inequalities I: Existence and Uniqueness Results

Yunru Bai, Stanisław Migórski+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

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ひとこと要約

本稿は、反射的バナッハ空間における一般化された混合変分不等式・半変分不等式（MVHVI）の新規クラスについて、存在性、一意性、連続性の結果を確立する。ファン＝クナスタール＝クラトフスキー＝マズルキエヴィチの定理と非滑らか解析、ミンティ技法を組み合わせることで、コンパクト性の仮定なしに存在性を証明し、ラジエンツカ＝バブゥーシャ＝ブレズィ条件（LBB条件）の下で解の最初の成分が一意に定まることを示す。また、強制力の変動に対する解作用素のホルダー連続性を、強制性条件のもとで示す。

ABSTRACT

We investigate a generalized Lagrange multiplier system in a Banach space, called a mixed variational-hemivariational inequality (MVHVI, for short), which contains a hemivariational inequality and a variational inequality. First, we employ the Minty technique and a monotonicity argument to establish an equivalence theorem, which provides three different equivalent formulations of the inequality problem. Without compactness for one of operators in the problem, a general existence theorem for (MVHVI) is proved by using the Fan-Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz principle combined with methods of nonsmooth analysis. Furthermore, we demonstrate several crucial properties of the solution set to (MVHVI) which include boundedness, convexity, weak closedness, and continuity. Finally, a uniqueness result with respect to the first component of the solution for the inequality problem is proved by using the Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB) condition. All results are obtained in a general functional framework in reflexive Banach spaces.

研究の動機と目的

• 反射的バナッハ空間における新規な抽象的混合変分不等式・半変分不等式（MVHVI）の一般関数的枠組みを構築すること。
• ファン＝クナスタール＝クラトフスキー＝マズルキエヴィチの定理と非滑らか解析を用いて、任意の作用素のコンパクト性を仮定せず、MVHVIの解の存在を証明すること。
• ラジエンツカ＝バブゥーシャ＝ブレズィ（LBB）条件の下で、解の最初の成分の一意性を証明すること。
• 解集合の構造的性質（有界性、凸性、弱閉性、連続性）を分析すること。

提案手法

• ミンティ技法を用いて、MVHVI問題の3通りの同値な定式化を導出する。
• ファン＝クナスタール＝クラトフスキー＝マズルキエヴィチの定理を用いて、一般の単調性および連続性の仮定のもとで解の存在を証明する。
• 非滑らか解析の道具、特に一般化された方向微分 $ J^0 $ を用いて、半変分不等式部を扱う。
• 解の安定性を保証するため、作用素 $ A + \gamma^*\partial J(\gamma\cdot) $ に緩和された単調性条件を導入する。
• ラジエンツカ＝バブゥーシャ＝ブレズィ（LBB）条件を用いて、解の最初の成分の一意性を確立する。
• 強制性条件 $ h(u) \geq c_h \|u\|^q $ の下で、解作用素 $ \mathcal{S}_1 $ に対するホルダー型連続性推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された混合変分不等式・半変分不等式が、反射的バナッハ空間において少なくとも1つの解をもつための一般的な条件は何か？
• RQ2 問題に含まれる任意の作用素のコンパクト性を仮定しないで、解の存在を証明できるか？
• RQ3 解の最初の成分は一意に定まるのか？その一意性が成立する条件は何か？
• RQ4 解集合はどのような構造的性質（有界性、凸性、弱閉性）を有するか？
• RQ5 外部力 $ f $ の変動に対する解作用素 $ \mathcal{S}_1 $ として、解はデータに対して連続的に依存するか？

主な発見

• 標準的仮定のもとで、MVHVIの解集合 $ S(A,J,b,f) $ は $ V \times \Lambda $ において空でなく、有界で、凸であり、弱閉である。
• 多価解作用素 $ \mathcal{S}: V^* \to 2^{V \times \Lambda} $ は有界であり、強い-弱い上半連続性を有する。
• LBB条件の下で、各 $ f \in V^* $ に対して解の最初の成分 $ \mathcal{S}_1(f) $ は一意に定まる。
• 強制性条件 $ h(u) \geq c_h \|u\|^q $ の下で、解作用素 $ \mathcal{S}_1 $ はホルダー型推定式 $ \|\mathcal{S}_1(f_1) - \mathcal{S}_1(f_2)\|_V \leq c_h^{1/(q-1)} \|f_1 - f_2\|_{V^*}^{1/(q-1)} $ を満たす（$ q > 1 $）。
• 解写像 $ \mathcal{S}_1 $ は、$ V^* $ のノルム位相から $ V $ の弱位相への連続写像であり、データの摂動に対しても安定性が保証される。
• ミンティ技法を用いて、MVHVIの3通りの定式化が同値であることが確立され、統一的な解析的枠組みが得られる。