[論文レビュー] A class of groups for which every action is W*-superrigid

Cyril Houdayer, Sorin Popa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特定の拡張自由積群の自由でエルゴディックな確率測度保存作用に関して、W*-超剛性を確立する。特に、Γ = SL(3,ℤ)*ΣSL(3,ℤ)（Σは3行目を固定する部分群）の場合を含む。Γに無限大の相対的( T )性を持つ部分群があり、Σがハーゲループ商を持つ正規塔を備える場合、A⋊Γの群測度空間Cartan部分代数の同型類の一意性を証明する。主な結果は、このような作用における安定W*-超剛性の確立であり、従来の結果を可換な場合を超えて拡張する。

ABSTRACT

We prove the uniqueness of the group measure space Cartan subalgebra in crossed products A times Γcovering certain cases where Γis an amalgamated free product over a non-amenable subgroup. In combination with Kida's work we deduce that if Σ< SL(3,\Z) denotes the subgroup of matrices g with g_31 = g_32 = 0, then any free ergodic probability measure preserving action of Γ= SL(3,\Z) *_ΣSL(3,\Z) is stably W*-superrigid. In the second part we settle a technical issue about the unitary conjugacy of group measure space Cartan subalgebras.

研究の動機と目的

• 可換な場合を超えて、すべての自由でエルゴディックなpmp作用がW*-超剛性を示す群のクラスを拡張すること。
• 非可換なΣを用いた拡張自由積Γ = Γ₁*ΣΓ₂に対して、A⋊Γにおける群測度空間Cartan部分代数の一意性を確立すること。
• [PV09]における技術的ギャップを、ユニタリ同型性が、十分に非正規なΣ < Γに対してA⋊Σに埋め込まれるCartan部分代数に成立することを詳細に証明することで解消すること。
• Σの有限指数部分群がエルゴディックでなくてもよい状況にまでW*-超剛性を一般化すること。
• II₁因子A⋊Γにおいて、Cartan部分代数BがA⋊Σに埋め込まれるならば、BとAはユニタリ同型であることを証明すること。

提案手法

• 新しい剛性移行補題（補題4）を用いて、非可換な拡張部分群Σに対してもCartan部分代数の一意性を拡張する。
• Kidaの軌道同値超剛性定理 [Ki09, 定理9.11] を適用し、Γ = SL(3,ℤ)*ΣSL(3,ℤ)（Σは3行目を固定する安定化群）に対してW*-超剛性を導く。
• Σにハーゲループ商を持つ正規塔{e} = Σ₀ ⊲ Σ₁ ⊲ ⋯ ⊲ Σₙ = Σが存在することを活用して、Σの構造を制御する。
• 双モジュールによる接続技術（A ≺ₘ B）を用いて、Cartan部分代数の相対的位置関係とその射影が相対可換核内にどのように位置するかを分析する。
• quasi-regular部分代数BがB ≺ₘ A⋊Σを満たすならば、Mが因子であるとき、相対可換核内の射影z(Σ)は1に等しいことを証明する。
• HNN拡張と拡張自由積の構造を用いて、z(Σ)がすべての群元と可換であることを示し、したがってMの中心に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Σが非可換である場合に、Γ = Γ₁*ΣΓ₂の拡張自由積に対して、群測度空間Cartan部分代数の一意性を確立できるか？
• RQ2 Γに相対的( T )性を持つ部分群が存在する場合、Γのすべての自由でエルゴディックなpmp作用がW*-超剛性を示すか？
• RQ3 [PV09]におけるCartan部分代数のユニタリ同型性に関する技術的ギャップは、埋め込みと射影技術を用いて完全に解消可能か？
• RQ4 Σの有限指数部分群がエルゴディックでなくてもよい状況において、Γ = SL(3,ℤ)*ΣSL(3,ℤ)の作用に関してW*-超剛性は依然有効か？
• RQ5 Cartan部分代数BがA⋊Σに埋め込まれるとき、BがA⋊Γ内でAとユニタリ同型であるための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、Σがハーゲループ商を持つ正規塔を備え、Γに無限大の相対的( T )性を持つ部分群を有する場合、A⋊Γにおける群測度空間Cartan部分代数がユニタリ同型を除いて一意であることを証明する。
• Γ = SL(3,ℤ)*ΣSL(3,ℤ)（Σは3行目を固定する部分群、すなわちg₃₁ = g₃₂ = 0）の場合、すべての自由でエルゴディックなpmp作用は安定W*-超剛性を示す。
• 従来の結果とは異なり、Σの有限指数部分群がエルゴディックでなくてもよい。
• 本稿は、quasi-regular部分代数B ⊂ pMpがB ≺ₘ A⋊Σを満たす場合、Mの中心においてz(Σ) = 1であることを示し、BがAとユニタリ同型であることを示す。
• 拡張自由積およびHNN拡張の両方において、部分群Σに関連する射影z(Σ)がMの中心に属することを示し、これは同型結果の根幹をなす。
• z(Σ) = 1が成り立つことにより、z(g₁Σg₁⁻¹ ∩ ⋯ ∩ gₙΣgₙ⁻¹) = 1（すべてのg₁,…,gₙ ∈ Γに対して）が導かれる。これは強い相対的剛性を保証する。