[論文レビュー] A class of higher order Painleve systems arising from integrable hierarchies of type A

Takao Suzuki|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$A^{(1)}_n$ 型のドリンフェルト＝ソコロフ（DS）階層から類似還元を用いて、高次のパレブレの系の新クラスを導出する。これにより、ハミルトニアン構造、ラクス対、およびアフィン・ウェイユ群の対称性が確立される。主な貢献は、$n \geq 1$ に対して、$2n$ 階の $P_{(n+1,n+1)}$ 系を体系的に構成し、それらのハミルトニアンとラクス表現を、$\mathfrak{sl}_{2n+2}[z,z^{-1}]$ のループ代数に関連付けることである。

ABSTRACT

A relationship between Painleve systems and infinite-dimensional integrable hierarchies is studied. We derive a class of higher order Painleve systems from Drinfeld-Sokolov (DS) hierarchies of type A by similarity reductions. This result allows us to understand some properties of Painleve systems, Hamiltonian structures, Lax pairs and affine Weyl group symmetries.

研究の動機と目的

• $A^{(1)}_n$ 型の可積分階層を用いて、既知のパレブレの系を一般化する体系的な枠組みを構築すること。
• 類似還元を通じて、高次のパレブレの系とドリンフェルト＝ソコロフ階層との関係を確立すること。
• 得られた系のハミルトニアン構造、ラクス対、およびアフィン・ウェイユ群の対称性を特定すること。
• $P_{(n+1,n+1)}$ 系の $2n$ 階の明示的公式を提示し、それらを既知のパレブレの型方程式に関連付けること。
• 分割の類が、$W(A_n)$ のウェイユ群の共役類を用いたこの系の分類において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• アフィンリー代数のヘイゼンベルグ部分代数から構成される、$A^{(1)}_n$ 型ドリンフェルト＝ソコロフ階層を用いて、可積分系を生成する。
• DS 階層に類似還元を適用し、$n+1$ の整数分割にパrameter化された高次のパレブレの系を導出する。
• $P_{(n+1,n+1)}$ 系を、$n$ 個の結合変数 $q_i, p_i$ と、$\sum_{i=0}^{2n+1}\alpha_i = 1$ を満たすパrameter $\alpha_i$ を含む、結合された第六パレブレの型ハミルトニアンを持つ $2n$ 階のハミルトニアン系として構成する。
• ループ代数 $\mathfrak{sl}_{2n+2}[z,z^{-1}]$ を用いてラクス対表現を導出し、整合性と可積分性を保証する。
• 正準変数 $x_i, y_i$ を用いた対称的形を導入し、ポアソン構造とハミルトニアン力学を単純化する。
• 変数 $x_i, y_i$ 上に作用する有理写像 $r_i$ と $\pi$ を用いて、$A^{(1)}_{2n+1}$ 型のアフィン・ウェイユ群の対称性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$A^{(1)}_n$ 型ドリンフェルト＝ソコロフ階層から高次のパレブレの系を体系的に導出できるか？
• RQ2 $P_{(n+1,n+1)}$ 系の一般の $n$ に対する明示的ハミルトニアン構造は何か？
• RQ3 ラクス対とアフィン・ウェイユ群の対称性は、これらの高次の系においてどのように生じるか？
• RQ4 分割 $(n+1,n+1)$ は、ウェイユ群の共役類を用いたこの系の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 系の対称的形は、そのハミルトニアンおよび対称性構造の解析をどのように単純化するか？

主な発見

• $P_{(n+1,n+1)}$ 系は、$n$ 個の結合変数 $q_i, p_i$ と、$\sum_{i=0}^{2n+1}\alpha_i = 1$ を満たすパrameter $\alpha_i$ を含む、結合された第六パレブレの型ハミルトニアンを持つ $2n$ 階のハミルトニアン系である。
• 系は、ループ代数 $\mathfrak{sl}_{2n+2}[z,z^{-1}]$ に関連するラクス対を有し、可積分性と整合性条件を保証する。
• 変数 $x_i, y_i$ を用いた系の対称的形は、簡略化されたポアソン構造 $\{y_i, x_j\} = \delta_{ij}$ と、$t$ および $1-t$ を用いたコンパクトなハミルトニアン表現をもたらす。
• 系は、有理写像 $r_0, \dots, r_{2n+1}$ と $\pi$ が $x_i, y_i$ 上に作用する $A^{(1)}_{2n+1}$ 型のアフィン・ウェイユ群の対称性を示す。
• $P_{(2,2)}$ 系は第六パレブレの方程式と同値であり、既知の結果と整合することを確認する。
• 特に、一般化された超幾何関数 ${}_{n+1}F_n$ を用いた解が存在し、注記 1.4 で指摘されているように、この系は特殊関数と関連している。