[論文レビュー] A class of integration by parts formulae in stochastic analysis I

K. D. Elworthy, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、確率的フローと微分過程を用いて、コンパクトなリーマン多様体上の経路空間における部分積分公式のクラスを確立する。Elworthy と Li (1994) の基本公式を拡張することで、カ姆ラ・マーティン空間内の適応過程に 沿った円柱型汎関数の微分を含む一般化された部分積分恒等式を導出し、リッチ曲率と接続幾何学を介して内在的な公式を導く。自由経路空間や不変性性質への応用を含む。

ABSTRACT

An integration by parts formula is the foundation for stochastic analysis on path spaces over a (finite dimensional) Riemannian manifold or over $R^n$, from which we may deduce the operator $d$ is closable and define the Laplacian operator on path spaces. A useful formula on the Riemannian manifold is $$dP_tf(v)=(1/t)E f(x_t) \int_0^t \langle d\{x_s\}, v_s angle ,$$ for $P_t$ the heat semi-group, $x_t$ the BM, $v_t$ the derivative flow or its conditional expectation (which is a damped parallel translation), $d\{x_s\}$ is the martingale part of $x_t$. As a meta theorem, this leads to the Clark-Ocone formula (martingale representation theorem with specific integrand) and Logrithmic Sobolev inequalities. Interpreted appropriately, the latter formula is obviously a special case of the integration by parts formula. Here we show by the Markov property and by induction that the latter formula implies the integration by parts formula. WE also use Bismut's original approach to prove an integration by parts formula, using a connection with torsion and one on the free path space.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上における適応確率過程の広いクラスに、Elworthy と Li (1994) の部分積分公式を一般化すること。
• LeJan-Watanabe 接続のリッチ曲率を通じて、経路空間上の部分積分と基礎多様体の幾何学的性質との関係を確立すること。
• 平行移動と確率的フローを用いた幾何的解釈を通じて、部分積分公式の幾何的意味を明らかにすること。
• 自由経路空間に結果を拡張し、接続のねじれ反対称性を仮定しない内在的公式を導出すること。
• 導出された公式が、ドライバーの公式など既知の結果と整合することを示し、幾何学的動機付けに基づく新たな導出を提供すること。

提案手法

• イトの公式とマルティンゲール計算を用いて、経路空間上の円柱型汎関数に適用可能な一般化された部分積分公式を導出する。
• 確率的フロー $ T\xi_t $ の微分を用いて、経路空間上のベクトル場を定義し、ベクトル場 $ \bar{V}^h $ 及びその発散 $ \delta \bar{V}^h $ を得る。
• ギルサノフ＝マルヤマの定理を適用して、異なる初期フローによって誘導される測度の関係を確立し、測度変換の議論を可能にする。
• 初期点を輸送する多様体上での時間連続的フロー族 $ H_t^\tau $ を導入し、フローのパラメータに関する微分を可能にする。
• 多様体 $ M $ 上で古典的ストークスの定理を適用し、汎関数の微分とベクトル場 $ h_0 $ の発散との関係を明示する。
• 停止時刻 $ \tau_R $ と $ L^{1+\epsilon} $ 可積分性を用いた正則化により、有界な適応過程から一般の適応過程への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体上での有限次元的確率的微積分を用いて、経路空間上の部分積分公式をどのように導出できるか？
• RQ2 LeJan-Watanabe 接続のリッチ曲率が、経路空間上のベクトル場の発散を決定づける幾何的役割は何か？
• RQ3 確率的フローと基礎多様体上の幾何的フローを用いて、自由経路空間への部分積分公式の拡張は可能か？
• RQ4 接続の選び方（計量的か、そうでないか）が、部分積分公式の形にどのように影響を与えるか？
• RQ5 導出された公式と、ドライバーの部分積分公式などの既知の結果との関係は何か？

主な発見

• 論文は、経路空間上の一般化された部分積分公式を導出した：$ \mathbb{E} dF(T\xi_\cdot(h_\cdot)) = \mathbb{E} F(\xi_\cdot(x)) \int_0^T \langle T\xi_s(\dot{h}_s), X(\xi_s(x)) dB_s \rangle $、円柱型汎関数に対して有効である。
• 適応性および計量接続の仮定の下で、この公式はドライバーの部分積分公式に簡約され、ねじれ反対称性の仮定を必要としない。
• 発散項 $ \delta \bar{V}^h $ は明示的に $ \mathbb{E} \left[ \int_0^T \langle T\xi_s(\dot{h}_s), X(\xi_s(x)) dB_s \rangle \middle| \xi_\cdot(x) = \gamma \right] $ と表現され、確率的解釈が可能である。
• 自由経路空間では、公式は $ \mathbb{E} \int_M dF(T_x\xi_\cdot(h_\cdot(x))) dx = \mathbb{E} \int_M F(\xi_\cdot(x)) \left( -\text{div}\, h_0(x) + \int_0^T \langle T_x\xi_s(\dot{h}_s(x)), X(\xi_s(x)) dB_s \rangle \right) dx $ に拡張される。
• 停止時刻による正則化により、一般の $ L^{1+\epsilon} $-可積分過程に対しても収束が保証され、結果の堅牢性が示された。
• 内在的公式は、リッチフロー や Dohrn-Guerra の平行移動といった既知の幾何的構造と整合しており、微分幾何的曲率が確率的解析において果たす役割が明確にされた。