[論文レビュー] A class of left quantum groups modeled after SL_q(n)

Aaron Lauve, Earl J. Taft|ArXiv.org|Aug 26, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、余行列式ユニット $X_{ij}$ によって生成される左ホップ代数である左量子群 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ を構成する。この代数は左アンチポードを持つが右アンチポードは持たず、一方向の量子群の非自明な例を提供する。構成は量子行列式関係の非標準的拡張に基づき、左アンチポードが右アンチポードでないことが証明され、完全なホップ代数とは同型でない真の左ホップ代数であることが示される。

ABSTRACT

For each n >1, we construct a left quantum group, i.e., a left Hopf algebra H generated by comatrix units X_{ij} and modeled after SL_q(n), which has a left antipode but no right antipode. The quantum special linear group SL_q(n) is a homomorphic image of our H.

研究の動機と目的

• comatrix unit $X_{ij}$ を生成子として用い、$\mathrm{SL}_q(n)$ をモデルにした、両側ホップ代数でない左ホップ代数を構成すること。
• 非コムテータティブな代数に左アンチポード $S$ を定義し、$S \ast \mathbb{I} = \mu\varepsilon$ だが $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$ となるようにすること。
• 結果として得られる代数 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ が完全なホップ代数でないことを示すため、$\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$ を証明すること。
• 量子物理学およびボソン-フェルミオン対応に関連する一方向の量子対称性をモデル化できる、具体的な一方向量子群の例を提供すること。

提案手法

• 生成子 $X_{ij}$（$1 \leq i,j \leq n$）で生成される自由代数の商として $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ を定義し、量子行列式に類似した式から導かれる関係を法とする。
• ダイヤモンド補題を用いて、生成子の非還元的語が基底をなすことを確立し、代数構造が適切に定義されることを保証する。
• 量子随伴行列を用いて生成子上で左アンチポード $S$ を定義する：$S(X_{ij}) = (-q)^{j-i} \mathrm{det}_q(X^{ji})$ とし、単語の順序を逆にする形で単項式へ拡張する。
• すべての非還元的語 $w$ に対して $m(S \otimes \mathbb{I})\Delta(w) = \varepsilon(w)1$ を満たすことを証明し、$S$ が左アンチポードであることを確認する。
• 非還元的単項式の線形独立性を用いて、$\sum_j X_{1j}S(X_{j1})$ が 1 に等しくないことを示し、$\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$ を証明する。
• タプルの長さを $\ell(I)$ と表記し、$\delta_{I,\mathfrak{S}_n}$ を定義関係における順列と非順列を区別する記号として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 comatrix unit を生成子として用いることで、両側ホップ代数でない左ホップ代数を構成することは可能か？
• RQ2 左アンチポードを持つが右アンチポードを持たない、$\mathrm{SL}_q(n)$ をモデルにした量子群は存在するか？
• RQ3 非可換な代数に、$S(ab) = S(b)S(a)$ を満たさない左アンチポードを、comatrix unit で生成される代数に定義することは可能か？
• RQ4 このような構造は、量子物理学に関連する一方向の量子対称性をモデル化するために利用可能か？

主な発見

• 代数 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ は comatrix unit $X_{ij}$ で生成され、量子随伴行列を用いて定義される適切に定義された左アンチポード $S$ を持つ。
• 左アンチポード $S$ は $S \ast \mathbb{I} = \mu\varepsilon$ を満たし、$\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ が左ホップ代数であることを確認する。
• $\mathbb{I} \ast S$ が $\mu\varepsilon$ に等しくないことが、$\sum_j X_{1j}S(X_{j1})$ の非自明性により示され、右アンチポードが存在しないことが証明される。
• 生成子の非還元的語は $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ の基底をなしており、代数が適切に構造化されており、基底に関して有限次元的であることが保証される。
• 量子行列式関係 $D_I = (-q)^{-\ell(I)}\delta_{I,\mathfrak{S}_n}$ により、還元可能な語が削減規則の右辺に現れないことが保証される。
• 左アンチポードは、$S(ab) = S(b)S(a)$ を満たさないため、全体的に代数反自己同型ではない。これは語の順序を逆にする形で定義されているためである。