[論文レビュー] A class of metrizable locally quasi-convex groups which are not Mackey
この論文は、局所擬凸群のクラス LQC において、メトライズ可能な局所擬凸群がマッケイ群であるためには、完全性が本質的であることを示している。具体的には、非コンパクトで、メトライズ可能で、前コンパクトな群 $ c_0(X) $ の族を構成し、$ X \neq \{0\} $ かつ連結でコンパクトなメトライズ可能な $ X $ を用いて、均一位相を備えた場合に完全かつメトライズ可能であるが、LQC においてはマッケイ群でない例を提示している。主な結果は、$ c_0(X) $ の積位相が、同じ双対を持つが、より細かい局所擬凸位相よりも厳密に粗いこと、つまりマッケイ条件を満たさないことである。
A topological group $(G,μ)$ from a class $\mathcal G$ of MAP topological abelian groups will be called a {\it Mackey group} in $\mathcal G$ if it has the following property: if $ν$ is a group topology in $G$ such that $(G,ν)\in \mathcal G$ and $(G,ν)$ has the same continuous characters, say $(G,ν)^{\wedge}=(G,μ)^{\wedge}$, then $ν\le μ$. If $ m{LCS}$ is the class of Hausdorff topological abelian groups which admit a structure of a locally convex topological vector space over $\mathbb R$, it is well-known that every metrizable $(G,μ) \in m{LCS}$ is a Mackey group in $ m{LCS}$. For the class $ m{LQC}$ of locally quasi-convex Hausdorff topological abelian groups, it was proved in 1999 that every {\bf complete} metrizable $(G,μ)\in m{LQC}$ is a Mackey group in $ m{LQC}$ (\cite{CMPT}). The completeness cannot be \NB dropped within the class $ m{LQC}$ as we prove in this paper. In fact, we provide a large family of metrizable precompact \NB(noncompact) groups which {\bf are not} Mackey groups in m{LQC} (Theorem ef{basth}). Those examples are constructed from groups of the form $c_0(X)$, whose elements are the null sequences of a topological abelian group $X$, and whose topology is the uniform topology. We first show that for a compact metrizable group $X e\{0\}$ the topological group $c_0(X)$ is a non-compact complete metrizable locally quasi-convex group, which has {\bf countable} topological dual iff $X$ is connected. Then we prove that for a connected compact metrizable group $X e\{0\}$ the group $c_0(X)$ endowed with the product topology induced from the product $X^{\N}$ is metrizable precompact but not a Mackey group in LQC.
研究の動機と目的
- メトライズ可能な局所擬凸群が LQC でマッケイ群であるためには、完全性が必要かどうかを調査すること。
- LQC におけるメトライズ可能な前コンパクト群が、より細かい位相と同一の連続自己同型を持つにもかかわらず、マッケイ群でないことがあるかどうかを特定すること。
- 連結でコンパクトなメトライズ可能な群 $ X \neq \{0\} $ を用いて、null 列 $ c_0(X) $ を用いた、LQC でマッケイ群でない明示的な例を構成すること。
提案手法
- コンパクトでメトライズ可能な群 $ X \neq \{0\} $ を用い、$ X^\mathbb{N} $ の零列の部分群として $ c_0(X) $ を構成し、均一位相を備える。
- $ X^\mathbb{N} $ からの誘導位相 $ \mathfrak{p}_0 $ を $ c_0(X) $ に導入する。これはメトライズ可能で前コンパクトではあるが、完全ではない。
- $ c_0(X) $ が $ \mathfrak{p}_0 $ に関して局所擬凸的かつメトライズ可能であることを示し、$ X $ が連結である場合に限り、その双対が可算であることを示す。
- $ \mathfrak{p}_0 $ よりも厳密に細かい局所擬凸群位相 $ \mathfrak{u}_0 $ を $ c_0(X) $ に定義し、$ \mathfrak{p}_0 $ と同様の双対を持つことを示す。つまり、$ (c_0(X), \mathfrak{p}_0)^\wedge = (c_0(X), \mathfrak{u}_0)^\wedge $ であり、$ \mathfrak{p}_0 $ が最適な位相でないことを示す。
- $ \mathbb{N} $ 上の超フィルター極限を用いて、$ X^\mathbb{N} $ から $ X $ への非可算個の連続準同型を構成し、$ X^\mathbb{N} $ が少なくとも $ 2^{\mathfrak{c}} $ 個の連続自己同型を持つことを示す。これにより、$ \mathfrak{p}_0 $ における $ c_0(X) $ のマッケイ性の欠如を裏付ける。
実験結果
リサーチクエスチョン
- RQ1メトライズ可能な局所擬凸群が LQC でマッケイ群であるためには、完全性が必要か？
- RQ2LQC におけるメトライズ可能な前コンパクト群が、より細かい位相と同一の双対を持つにもかかわらず、マッケイ群でないことがあるか？
- RQ3連結でコンパクトなメトライズ可能な群 $ X \neq \{0\} $ を用いた $ c_0(X) $ が、積位相を備えた場合に LQC でマッケイ群でないか？
- RQ4$ c_0(X) $ の位相的双対と $ X $ の構造、特に連結性との関係は何か？
- RQ5非可算な双対を持つような積群 $ X^\mathbb{N} $ を用いて、元の位相より厳密に細かいが同様の双対を持つ位相を構成し、マッケイ性を破ることができるか？
主な発見
- 連結でコンパクトなメトライズ可能な群 $ X \neq \{0\} $ を用いた $ c_0(X) $ は、積位相 $ \mathfrak{p}_0 $ に関して、メトライズ可能で前コンパクトかつ局所擬凸的ではあるが、LQC ではマッケイ群でない。
- $ \mathfrak{p}_0 $ よりも厳密に細かい局所擬凸群位相 $ \mathfrak{u}_0 $ が存在し、$ (c_0(X), \mathfrak{p}_0)^\wedge = (c_0(X), \mathfrak{u}_0)^\wedge $ を満たす。これはマッケイ条件 $ \nu \leq \mu $ を破る。
- $ c_0(X) $ の双対が可算であることは、$ X $ が連結であることと同値であり、これは反例の構築における重要な構造的条件である。
- $ X^\mathbb{N} $ が積位相を備えた場合、$ X $ への連続準同型が少なくとも $ 2^{\mathfrak{c}} $ 個存在する。これは非可算な双対を持つことを示し、複数の同様の位相の存在を裏付ける。
- この反例により、1999 年の結果（完全なメトライズ可能な局所擬凸群は LQC でマッケイ群である）における完全性の仮定を省略することはできないことが示された。
- 本研究は、アーベル群のマッケイ位相理論における空白を埋める、メトライズ可能で前コンパクトな非マッケイ群の広い族を提供している。
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このレビューはAIが作成し、人間の編集者が確認しました。