[論文レビュー] A class of nonlinear random walks related to the Ornstein-Uhlenbeck process

S. A. Muzychka, K. L. Vaninsky|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、オーランシュタイン＝ウーレンバック過程にインspiredされた非線形ランダムウォークモデルを提案する。このモデルでは、漂移パラメータL(t)とM(t)が現在の状態分布p_n(t)に応じて動的に変化する。系は連続的な定常測度、保存量、および古典的ランダムウォークへの収束を示す。主な結果は、相対エントロピーと不変性解析を用いて証明されたリャプノフ関数を用いた、系のグローバル収束である。

ABSTRACT

Contrary to the theory of Markov processes, no general theory exists for the so called nonlinear Markov processes. We study an example of "nonlinear Markov process" related to classical probability theory, merely to random walks. This model provides interesting phenomena (absent in classical Markov chains): continuum of stationary measures, conserved quantities, convergence to stationary classical random walks etc.

研究の動機と目的

• 非線形マコフ過程の解けるモデルを構築し、古典的ランダムウォーク理論を拡張すること。
• 標準的なマルコフ連鎖に見られない現象、例えば連続的な定常測度と保存量を調査すること。
• リャプノフ関数の手法を用いて、古典的ランダムウォークへの収束を確立すること。
• 時間に依存するパラメータL(t)とM(t)を用いて、ボンズとベアーズが存在する金融市場をモデル化すること。

提案手法

• 確率分布p_n(t)の無限次元ODEとして系を定義し、L(t)とM(t)に依存する時刻に依存するジャンプレートλ_n(t)とμ_n(t)を用いる。
• L(t)とM(t)の動的挙動は平均ジャンプレートに従い、固定点の存在を保証するための定数の漂移補正C_λとC_μを用いる。
• s(t) = (L(t) + M(t))/2 および d(t) = (L(t) - M(t))/2 という変数変換により、(p, s)のダイナミクスとd(t)が分離され、収束解析が可能になる。
• 相対エントロピーH(t) = ∑ p_n ln(p_n / π_n^s) をリャプノフ関数として用い、π_n^s ∝ e^{-(s-n)^2} であることを証明する。
• Kが保存量であることを踏まえ、修正されたリャプノフ関数W(t) = H(t) + 2Ks(t) - 3s²(t) を導入し、単調減少を証明する。
• d(t)の収束は、p_n(t)とβ(n)に依存する関数Q(t)の収束を示すことにより確立され、d(t)のODEの明示的解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するパラメータを持つ非線形マコフ過程は、漂移の進化に非線形性が存在するにもかかわらず、古典的ランダムウォークへの収束を示せるか？
• RQ2 この系には連続的な定常測度が存在するか？それらはオーランシュタイン＝ウーレンバック過程とどのように関係しているか？
• RQ3 この系に存在する保存量は何であり、それらが長時間の挙動にどのように制約を加えるか？
• RQ4 相対エントロピーH(t)は時間とともにどのように変化するか？また、収束の証明に用いることができるか？
• RQ5 漂移パラメータL(t)とM(t)の時間発展を確率分布p_n(t)から分離できるか？これにより解析が簡略化されるか？

主な発見

• 系にはπ_n ∝ e^{-c(n-s)^2} で表される連続的な定常測度π_nが存在し、sでパラメータ化されており、dに依存しない。
• 保存量K = 2s + ∑ n p_n(t) は時間とともに保存され、分布の平均と中心パラメータsを結びつける。
• 相対エントロピーH(t)は時間とともに非増加的であり、p(t)が定常測度π^sに比例する場合に限り0に減少する。
• 修正されたリャプノフ関数W(t) = H(t) + 2Ks(t) - 3s²(t) は非増加的であり、0に減少する。これにより、(p(t), s(t))が定常状態にグローバルに収束することが証明される。
• Q(t)がd(t)のODEにおいて収束することから、d(t)はt → ∞で有限の極限に収束する。
• 軌道(p(t), s(t))はd(t)に依存しないため、分離された(p, s)サブシステムを用いた収束の証明が可能になる。