[論文レビュー] A class of $q$-ary linear codes derived from irreducible cyclic codes

Ziling Heng, Qin Yue|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ガウス和を用いてハミング重量を特徴付け、最小距離の境界を導出することで、非可約巡回符号から構築された $q$-元線形符号の新しいクラスを導入する。特定の状況では、重量分布を明示的に決定し、多くの結果として得られる符号は最適であることが示され、秘密分散方式や認証方式への応用を含め、符号理論における既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Recently, linear codes with a few weights were widely investigated due to their applications in secret sharing schemes and authentication schemes. In this letter, we present a class of $q$-ary linear codes derived from irreducible cyclic codes with $q$ a prime power. We use Gauss sums to represent its Hamming weights and obtain the bounds of its minimum Hamming distance. In some cases, we explicitly determine its weight distributions which generalize some known results. It is quite interesting that many new codes obtained in this letter are optimal according to some bounds on linear codes.

研究の動機と目的

• 秘密分散方式や認証方式への応用を目的として、非可約巡回符号に基づく新しい $q$-元線形符号の族を構築すること。
• ガウス和を用いてこれらの符号のハミング重量を分析し、重量分布を正確に特徴付けること。
• 構築された符号の最小ハミング距離の境界を確立すること。
• 線形符号の重量分布に関する既知の結果を、より広範な $q$-元符号のクラスへと一般化すること。
• 構築された符号が、既知の線形符号の境界に照らして最適性に達している場合を同定すること。

提案手法

• 構築法は、素数のべき乗の位数を持つ有限体上の非可約巡回符号に依存する。
• ガウス和は、得られる線形符号のハミング重量を表現・分析するための数学的道具として用いられる。
• キャラクター和とガウス和の性質を用いた解析的手法により、最小ハミング距離の境界を導出する。
• 特定のパrameter範囲では、符号の代数的構造とガウス和の恒等式を用いて、重量分布の完全な計算が明示的に行われる。
• 符号の最適性は、線形符号の既知の境界と比較することで評価される。
• 理論的分析を用いて、線形符号の重量分布に関する従来の知見を、この新しいクラスへと一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約巡回符号をどのようにして、良好な重量特性を持つ新しい $q$-元線形符号に構築できるか？
• RQ2 ガウス和は、これらの符号のハミング重量および最小距離を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 どのような条件下で、構築された符号の完全な重量分布を明示的に計算できるか？
• RQ4 これらの符号は、既知の境界と照らして、最小距離の観点でどの程度最適性に達しているか？
• RQ5 これらの符号は、少数の重量を持つ線形符号に関する文献における従来の知見を、どのように一般化または拡張するか？

主な発見

• 提案された構築法により、非可約巡回符号から派生する新しい $q$-元線形符号のクラスが得られ、既知の構築法の範囲が拡張される。
• ガウス和は、符号のハミング重量を表現・分析する有効な手法を提供し、重量分布の正確な分析を可能にする。
• 多数のケースにおいて、符号の完全な重量分布が明示的に決定され、分野における先行研究を一般化する。
• ガウス和の技法を用いて符号の最小ハミング距離が境界付けられ、非自明な下界が得られる。
• 構築された符号の多くは最適であることが証明され、既存の境界に照らして、長さと次元の観点で最良の最小距離を達成する。
• 結果として、符号の少数の重量構造と最適性から、秘密分散方式や認証方式への実用的応用が適していることが示された。