[論文レビュー] A class of repeated-root constacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e angle$ of Type $2$

Yuan Cao, Yonglin Cao+4 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、奇素数 $p$、偶数 $e \geq 4$、$\gcd(n,p) = 1$ である有限鎖環 $ mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上における長さ $np^k$ の $(\delta + \alpha u^2)$-反復根型循環コードの完全な代数的特徴付けを提供する。明示的な表現が与えられ、このようなコードおよびその双対コードの数が特定され、長さ $p^k$ の場合を含むコードの構造が完全に記述されている。主な貢献は、タイプ2反復根型循環コードの完全な分類と列挙である。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ where $p$ is an odd prime, $n$ be a positive integer satisfying ${ m gcd}(n,p)=1$, and denote $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e angle$ where $e\geq 4$ be an even integer. Let $δ,α\in \mathbb{F}_{p^m}^{ imes}$. Then the class of $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $R$ is a significant subclass of constacyclic codes over $R$ of Type 2. For any integer $k\geq 1$, an explicit representation and a complete description for all distinct $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $R$ of length $np^k$ and their dual codes are given. Moreover, formulas for the number of codewords in each code and the number of all such codes are provided respectively. In particular, all distinct $(δ+αu^2)$-contacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^{e} angle$ of length $p^k$ and their dual codes are presented precisely.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$、偶数 $e \geq 4$、$ \gcd(n,p) = 1$ であるとき、有限鎖環 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上における $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの完全な構造的記述を提供すること。
• 長さ $np^k$ の $R$ 上における $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの明示的表現を導出し、その異なるコードの数を特定すること。
• これらの循環コードの双対コードを特徴付け、その代数的構造を確立すること。
• 長さが $p^k$ である特別な場合、すなわち $p^k$ の場合に、すべてのこのようなコードの正確な分類と列挙を提示すること。
• 単純根型および $e=2$ の場合に限定されない、非自明な有限鎖環におけるタイプ2反復根型循環コードの理解を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、特に $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ とそのガロア環に類似た分解の間の同型を活用することで、有限鎖環の代数的構造理論を用いる。
• $ mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle \cong \mathbb{F}_{p^m}[\pi]/\langle \pi^e \rangle$ という環同型を用い、$ pi$ を基本的既約多項式の根とすることで、$ pi$ 進展開の利用が可能になる。
• この方法では、$\pi$-進展開を用いて、$\mathbb{F}_{p^m}$ 上の剰余体から環 $R$ へのコードのリフトを実行し、$R[x]/\langle x^{np^k} - (\delta + \alpha u^2) \rangle$ の環境環のイデアル構造を分析する。
• 著者らはヘンゼルのリフト理論を適用し、$\delta + \alpha u^2$ がタイプ2の単元であるという事実を活用して、環境環を分解し、すべてのイデアルを分類する。
• $u$ の冪零性と $\mathbb{F}_{p^m}$-代数の構造に基づく再帰的リフトプロセスを用いて、すべてのこのようなコードの明示的生成元を導出する。
• 双対性は標準的内積を用いて分析され、双対コードの構造は定数的シフトパラメータ $\gamma^{-1}$ の逆数を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$、偶数 $e \geq 4$、$ \gcd(n,p) = 1$ であるとき、$ mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上における長さ $np^k$ の $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの完全な代数的構造は何か？
• RQ2 この環上における長さ $np^k$ の異なる $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードはいくつ存在し、その正確な数は何か？
• RQ3 各 $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの双対コードの構造は何か？ また、元のコードとどのように関係しているか？
• RQ4 パrameter $\delta, \alpha, e, p, k, n$ の異なる場合において、これらのコードの生成子および基数はどのように変化するか？
• RQ5 長さが $p^k$ の特別な場合に、完全で明示的な分類が達成可能か？

主な発見

• 環 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上における長さ $np^k$ の異なる $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの数は、生成子構造におけるパrameterの選択肢の数に基づき、$p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot \left| \mathbb{F}_{p^m}^\times \right|^{e-2}$ に等しい。
• 長さ $p^k$ の場合、異なる $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの数は、特定のケースでは $5^{2l+1}$ に等しくなる。表1に示されるように、ケースインデックス（例：5, 15, 75 など）に応じて具体的な値が異なる。
• $(\delta + \alpha u^2)$-循環コードの双対コードは、$(\delta^{-1} + \alpha^{-1} u^2)$-循環コードであり、逆パラメータと双対生成イデアルを用いて明示的に記述されている。
• 各コードの基数は $|\mathcal{C}| = p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot |\mathbb{F}_{p^m}|^{\text{rank}}$ に等しく、正確なサイズはケースおよび生成子の数に依存する。
• 本稿では、$\mathbb{F}_5[u]/\langle u^e\rangle$ 上における長さ $p^k$ のコードに対して、15個の異なるケース（例：iv-1-1 から iv-3-5 まで）の完全なリストを提供しており、それぞれに明示的な生成子と対応する双対コードが記載されている。
• コードの構造は、パrameter $b, h, l, l_0, l_1$ の選択および $\pi$-進展開の使用によって完全に決定され、環境環内のすべてのイデアルを再帰的かつ体系的に構成することが可能になる。