[論文レビュー] A Class of Ring-like Objects

Keqin Liu|ArXiv.org|Nov 26, 2004

Rings, Modules, and Algebras参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、乗法モノイドを片側バー単位をもつディモイドに置き換えることで環論を一般化する、左ディリングと呼ばれる一般化された代数的構造を導入する。3-根基を、3-極小モジュールの annihilator の共通部分として定義し、その3-根基が3-素性理想の共通部分と等しいことを証明することで、古典的環論における主要な結果をこの新しい枠組みへと一般化する。

ABSTRACT

We introduce the notions of one-sided dirings, 3-irreducible left modules, 3-primitive left dirings, 3-semi-primitive left dirings, 3-primitive ideals and 3-radicals. The main results consists of two parts. The first part establishes two external characterizations of a 3-semi-primitive left diring. The second part characterizes the 3-radical of a left diring by using 3-primitive ideals.

研究の動機と目的

• 加法群と片側バー単位をもつディモイドを備えた二つの積を備えた代数的構造として、片側ディリングの概念を導入し、非可換的かつ非結合的環論の一般化を図ること。
• 極小性、素性、根基といった基本的概念を左ディリングの文脈へと拡張すること。
• 3-半素性左ディリングの外部的特徴づけを、3-素性ディリングの部分直積を用いて行い、ジャコブソン根基に類似する3-根基を定義すること。
• 左ディリングの3-根基が、そのすべての3-素性理想の共通部分と一致することを証明し、古典的環論における中心的結果を模倣すること。
• 双代数からの三つの一般化の道の第一段階に沿って、基本的環論の完全な類似物を構築する基盤を提供すること。

提案手法

• 加法に関してアーベル群をなす集合に、片側バー単位をもつディモイドを備えた二つの積を備えた片側ディリングの概念を導入する。
• 左ディリング上の左モジュールを定義し、左作用に関して単純なモジュール構造をもつ3-極小モジュールを定義する。
• 左ディリング上の3-極小モジュールに対して、シュールの補題の類似を確立する。
• 3-素性ディリングの部分直積を用いた外部的特徴づけを通じて、3-半素性および3-素性左ディリングを定義する。
• 3-根基を、すべての3-極小左モジュールの annihilator の共通部分として定義する。
• 商構造と単射準同型を用いて、3-根基がすべての3-素性理想の共通部分と等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的構造が環でないが加法的および乗法的類似の演算を備えた代数的構造に対して、ジャコブソン根基の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 3-半素性左ディリングの外部的特徴づけは、3-素性ディリングの部分直積を用いてどのように記述できるか。
• RQ3 古典的環論と同様に、左ディリングの3-根基がその3-素性理想の共通部分と一致するか。
• RQ4 シュールの補題は3-極小モジュールに対する左ディリング上に拡張可能か。その結果の意味は何か。
• RQ5 3-根基は左ディリングの構造論において、特に商構成と関連して、どのような役割を果たすか。

主な発見

• 左ディリングの3-根基は、すべての3-極小左モジュールの annihilator の共通部分として定義される。
• 左ディリングの3-根基は、そのディリングのすべての3-素性理想の共通部分と等しい。
• 左ディリングが3-半素性であるための必要十分条件は、その3-根基がゼロであることである。
• 左ディリングをその3-根基で割った商は3-半素性である。これは、その商の3-根基が消えることを意味する。
• 左ディリングの任意の3-素性理想は3-根基を含むため、商構造が素性を保存することが保証される。
• 3-極小モジュールの annihilator を通じた3-根基の構成は、ジャコブソン根基を一般化する自然な理想を生み出す。