[論文レビュー] A class of simple $C^*$-algebras arising from certain nonsofic subshifts

Kengo Matsumoto|ArXiv.org|May 19, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非soficな符号的シフト $Z_N$ から、単純かつ純粋に無限大の $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{Z_N}$ の新しいクラスを構成し、これが任意のCuntz-Krieger代数やCuntz代数と安定同型でないことを証明する。これらの符号的シフトは文脈自由言語を持つ符号的システムであり、関連する $C^*$-代数は、逆温度の対数が $Z_N$ の位相的エントロピーに等しい場合に限り、ガージェ作用における一意なKMS状態をもつ。この位相的エントロピーは $\beta$ に関する6次多項方程式を用いて明示的に計算可能である。これにより、Cuntz-KriegerおよびCuntzクラス以外の、このような $C^*$-代数の最初の既知の例が得られる。

ABSTRACT

We present a class of subshifts $Z_N, N = 1,2,...$ whose associated $C^*$-algebras ${\cal O}_{Z_N}$ are simple, purely infinite and not stably isomorphic to any Cuntz-Krieger algebra nor to Cuntz algebra. The class of the subshifts is the first examples whose associated $C^*$-algebras are not stably isomorphic to any Cuntz-Krieger algebra nor to Cuntz algebra. The subshifts $Z_N$ are coded systems whose languages are context free. We compute the topological entropy for the subshifts and show that KMS-state for gauge action on the associated $C^*$-algebra ${\cal O}_{Z_N}$ exists if and only if the logarithm of the inverse temperature is the topological entropy for the subshift $Z_N$, and the corresponding KMS-state is unique.

研究の動機と目的

• 非soficな符号的シフト $Z_N$ から、任意のCuntz-Krieger代数やCuntz代数と安定同型でない、単純かつ純粋に無限大の $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{Z_N}$ の新しいクラスを構成すること。
• 符号的シフト $Z_N$ が非soficであり、文脈自由言語を持つことを示し、従来の研究対象であった符号的システムとは明確に区別されることを明らかにすること。
• 符号的シフト $Z_N$ の位相的エントロピーを計算し、KMS状態とエントロピーの間の明確な対応関係を、$\beta$ に関する一意の6次多項方程式を用いて確立すること。
• 符号的シフト $Z_N$ のK理論的不変量とBowen-Franks群が、フロー同値関係に関して符号的シフトを区別できることを示し、それらが互いに同値でないことを証明すること。

提案手法

• 符号的シフト $Z_N$ は、記号的行列系および $\lambda$-グラフ系から導かれる文脈自由言語を持つ符号的システムとして定義される。
• $\mathcal{O}_{Z_N}$ は、$\lambda$-グラフ系に符号化された関係を満たす部分等長射影と射影から生成される普遍 $C^*$-代数として構成される。
• $Z_N$ の位相的エントロピーは、長さ $k$ の語の数の成長率を用いて計算され、その結果、$\beta$ に関する6次多項方程式が得られ、その正の実根 $\beta_N > N$ を用いてエントロピーが $\log \beta_N$ として与えられる。
• ガージェ作用におけるKMS状態は、KMS条件と $C^*$-代数の構造を用いて分析され、$\log \beta = h_{\text{top}}(Z_N)$ を満たす場合に限り存在かつ一意であることが示される。
• $K_0(\mathcal{O}_{Z_N}) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$、$K_1(\mathcal{O}_{Z_N}) = \{0\}$ としてK理論的不変量が計算され、フロー同値関係の類別に用いられる。
• 普遍係数定理を適用してExt群を計算し、それらを用いてBowen-Franks群 $BF^i(Z_N)$ を定義し、$Z_N$ の符号的シフトが互いにフロー同値でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非soficな符号的シフトから、任意のCuntz-Krieger代数やCuntz代数と安定同型でない、単純かつ純粋に無限大の $C^*$-代数の新しいクラスを構成できるか？
• RQ2 ガージェ作用における $\mathcal{O}_{Z_N}$ のKMS状態の存在と符号的シフト $Z_N$ の位相的エントロピーとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 $Z_N$ のK理論的不変量およびBowen-Franks群はどのように振る舞い、それらは符号的シフトをフロー同値関係に関して分類するために用いられるか？
• RQ4 符号的シフト $Z_N$ の位相的エントロピーは計算可能か？また、$\beta$ に関して特定の代数的方程式を満たすか？
• RQ5 $N \to \infty$ のとき、エントロピー $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$ の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 符号的シフト $Z_N$ は非soficであり、文脈自由言語を持つため、soficまたはsoficに類似したシステムとは明確に区別される。
• 関連する $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{Z_N}$ は単純かつ純粋に無限大であり、任意のCuntz-Krieger代数やCuntz代数と安定同型ではない。
• 符号的シフト $Z_N$ の位相的エントロピーは $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$ であり、ここで $\beta_N > N$ は6次多項方程式 $\beta^6 - (N+3)\beta^5 + (3N+1)\beta^4 - 2(N-1)\beta^3 - (N+2)\beta^2 + N - 1 = 0$ の唯一の実根である。
• ガージェ作用におけるKMS状態が存在するのは、逆温度 $\beta$ が $\log \beta = h_{\text{top}}(Z_N)$ を満たす場合に限り、かつそのとき一意である。
• $K$-理論的不変量は $K_0(\mathcal{O}_{Z_N}) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$、$K_1(\mathcal{O}_{Z_N}) = \{0\}$ であり、Bowen-Franks群は $BF^0(Z_N) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$、$BF^1(Z_N) = \mathbb{Z}$ である。これにより、符号的シフト $Z_N$ は互いにフロー同値でないことが証明される。
• $N \to \infty$ のとき、比 $\beta_N / N \to 1$ となるため、$h_{\text{top}}(Z_N) \sim \log N$ が漸近的に成り立つ。