[論文レビュー] A class of solutions of the vacuum Einstein constraint equations with freely specified mean curvature

David Maxwell|ArXiv.org|Apr 5, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンformal 法を用いてコンpact多様体上の真空アインシュタイン制約方程式の解を構成するための十分条件を確立し、グローバル下界解が不要である一方で、グローバル上界解が存在するだけで十分であることを示している。HNTグローバル上界解が十分であることを証明し、遠くC/M/Cでない真空解の存在を示しており、従来の非真空結果を拡張し、近傍C/M/Cにおける存在仮定を単純化している。

ABSTRACT

We give a sufficient condition, with no restrictions on the mean curvature, under which the conformal method can be used to generate solutions of the vacuum Einstein constraint equations on compact manifolds. The condition requires a so-called global supersolution but does not require a global subsolution. As a consequence, we construct a class of solutions of the vacuum Einstein constraint equations with freely specified mean curvature, extending a recent result of Holst, Nagy, and Tsogtgerel [HNT07] which constructed similar solutions in the presence of matter. We give a second proof of this result showing that vacuum solutions can be obtained as a limit of [HNT07] non-vacuum solutions. Our principal existence theorem is of independent interest in the near-CMC case, where it simplifies previously known hypotheses required for existence.

研究の動機と目的

• コンformal 法を、定数または近似的に定数な平均曲率（CMC/near-CMC）の範囲を超えて、真空アインシュタイン制約方程式を解くために拡張すること。
• コンformal 法がグローバル下界解を必要としない状況でも、遠くC/M/Cでない真空解を生成できるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 近傍C/M/Cの場合における既存の存在仮定を単純化し、下界解の必要性を取り除くこと。
• 物質場が存在しない状況において、HNTグローバル上界解が、真空解の構成に十分であることを示すこと。

提案手法

• コンフォーマル因子 $\phi$ とベクトル場 $W$ を用いて解をパrametrizeするコンフォーマル法を適用し、計量 $\bar{g} = \phi^4 g$ と第二基本形式 $\bar{K} = \phi^{-2}(\sigma + \mathbf{L}W) + \frac{\tau}{3}\bar{g}$ を得る。
• 事前推定（命題10）を適用して、グローバル下界解の必要性を排除し、グローバル上界解の存在に依存する。
• 物質場 $\rho_n \to 0$ を持つ非真空解の列を構成し、一様有界性と $W^{2,p}$ における弱収束性により、真空解への収束を示す。
• Maxwell（2005a）の技術を用いて、極限過程における下界解を構築し、コンフォーマル因子に一様な下界と上界を保証する。
• 楕円型正則性とコンパクト埋め込みを用いて、コンフォーマル因子 $\phi_n$ の収束部分列を $W^{2,p}$ 内で抽出し、$W^{2,p}_+$ 内の強い解を得る。
• 極限解が真空制約方程式を満たすことを確立する：$-8\Delta\phi + R\phi = -\frac{2}{3}\tau^2\phi^5 + |\sigma + \mathbf{L}W|^2\phi^{-7}$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフォーマル法は、グローバル下界解を必要とせず、自由に指定された平均曲率を持つ真空解を生成できるか？
• RQ2 HNTグローバル上界解は、ヤマベ正のコンpact多様体上での遠くC/M/Cでない真空解の存在に十分か？
• RQ3 物質場が0に収束する非真空解の列の極限として、真空解が得られるか？
• RQ4 近傍C/M/Cの枠組みにおいて、下界解の必要性を排除することで、存在仮定を単純化できるか？
• RQ5 コンフォーマル法を用いて真空解が存在するための、最小限のデータ（平均曲率、横断的トレースレステンソル）の条件は何か？

主な発見

• グローバル上界解が存在するだけで、真空アインシュタイン制約方程式の解の存在が保証され、グローバル下界解の必要性が不要になる。
• HNTグローバル上界解は真空の場合にも適用可能であり、ヤマベ正のコンpactな3次元多様体上では、任意の平均曲率 $\tau$ に対して、遠くC/M/Cの解を構成可能である。
• 近傍C/M/Cにおける存在仮定が単純化され、下界解の要件が不要となり、データに対する技術的制約が軽減される。
• 物質場 $\rho_n \to 0$ を持つ非真空解の列が一様収束および $W^{1,p}$ で収束し、真空解に収束する。これは主結果の別証明を提供する。
• コンフォーマル因子 $\phi_n$ は一様に下界と上界で有界であり、正の $W^{2,p}$ 解 $\phi \in W^{2,p}_+$ への収束を保証する。
• 極限解は強い形で真空制約方程式を満たし、$\phi$ は $-8\Delta\phi + R\phi = -\frac{2}{3}\tau^2\phi^5 + |\sigma + \mathbf{L}W|^2\phi^{-7}$ を満たす。