[論文レビュー] A Class of Solvable Stationary Singular Stochastic Control Problems

Luis H. R. Alvarez E.|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、線形拡散過程における可解な定常特異確率制御問題のクラスを構築し、コストが非凸または非対称であっても、二重境界における局所時刻の反射が最適であることを示す。主な貢献は、このような反射政策の最適性を保証する弱単調性および極限条件のセットであり、一次条件による境界の明示的特定と、ボラティリティが継続領域に与える影響の分析を通じて得られる。

ABSTRACT

We consider the determination of the optimal stationary singular stochastic control of a linear diffusion for a class of average cumulative cost minimization problems arising in various financial and economic applications of stochastic control theory. We present a set of conditions under which the optimal policy is of the standard local time reflection type and state the first order conditions from which the boundaries can be determined. Since the conditions do not require symmetry or convexity of the costs, our results cover also the cases where costs are asymmetric and non-convex. We also investigate the comparative static properties of the optimal policy and delineate circumstances under which higher volatility expands the continuation region where utilizing the control is suboptimal.

研究の動機と目的

• 線形拡散過程における平均累積コスト最小化問題のクラスに対して、最適な定常特異制御方策を特徴付けること。
• コストが非凸的または非対称であっても、最適方策が二つの定常境界における標準的な局所時刻の反射型である条件を特定すること。
• 特にボラティリティの増加が継続領域に与える影響を含む、最適方策の比較静的分析を行うこと。
• 対称的または凸的コスト構造に限定されない既存のエルゴディック特異制御結果を拡張すること。
• 一方向制御設定における一重境界反射方策の存在を保証する条件を確立すること。

提案手法

• 二つの境界間における局所時刻の反射方策のための長期平均コスト関数を定式化する。
• 拡散過程のスケール関数およびスピード測度を用いて、長期平均コストの明示的表現を導出する。
• 自由境界問題として最適方策を特徴付け、コスト関数およびドリフト関数に弱い条件を課したもとでそれを解く。
• 凸性や対称性を仮定しないまま、反射が行われるべき境界を一次最適性条件を用いて特定する。
• 正則な線形拡散過程およびエルゴディック制御の理論を用いて、最適性の必要十分条件を導出する。
• 具体的な例（制御されたオルンシュタイン＝ウーレン過程など）を提示し、最適境界がボラティリティに対して線形に依存することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的かつ非対称コストを有する線形拡散過程のエルゴディック特異制御において、二つの定常境界における局所時刻の反射が最適である条件は何か？
• RQ2 ボラティリティが増加すると、制御が非最適となる継続領域のサイズはどのように変化するか？
• RQ3 コスト関数の凸性や対称性を仮定しない状況でも、反射方策の最適性を確立できるか？
• RQ4 一方向制御問題において、一意な最適一重境界反射方策が存在するための条件は何か？
• RQ5 対称的反射問題において、最適境界はボラティリティに対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• コスト関数が凸でも対称的でもない場合でも、弱単調性および極限条件が満たされていれば、最適方策は二つの定常境界における標準的な局所時刻の反射型である。
• ボラティリティの増加により、継続領域が拡大し、制御の最適な適用が延期される。これは、価値関数の凸性に起因する。
• 最適境界は、不変分布下での期待コストが境界におけるコストと等しくなる一次条件によって特定される。すなわち、$\mathbb{E}[\pi_i(\bar{X}_\infty)] = \pi_i(b^*)$ である。
• 制御されたオルンシュタイン＝ウーレン過程の例では、最適境界はボラティリティに対して線形に依存する：$b^* = \zeta^* \sigma$ であり、ここで $\zeta^*$ はドリフトおよびコストパラメータを含む非線形方程式の根である。
• ドリフト係数の連続性は、結果が成り立つために厳密には必要ではなく、交互に変化するドリフトを有する Browmian 動作の例でそれが示された。
• 一重境界問題では、非対称コスト構造下でも、最適方策が存在し、一意な境界が一次最適性条件を満たすことで特徴付けられる。