[論文レビュー] A class of three-weight and five-weight linear codes

Fei Li, Qiuyan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{F}_p$ 上の線形符号のクラスを、特定の定義集合 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^* : \mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0\}$ を用いてトレース関数によって定義することにより、三つまたは五つの重みを持つように構成する。ここで $q = p^m$ である。主な貢献は、$m$ と $p$ にさまざまな条件を課した場合の、これらの符号の重み分布の完全な決定であり、$m \geq 5$ の場合、符号が $w_{\min}/w_{\max} > (p-1)/p$ を満たすことが示され、秘密分散方式への応用が可能である。

ABSTRACT

Recently, linear codes with few weights have been widely studied, since they have applications in data storage systems, communication systems and consumer electronics. In this paper, we present a class of three-weight and five-weight linear codes over Fp, where p is an odd prime and Fp denotes a finite field with p elements. The weight distributions of the linear codes constructed in this paper are also settled. Moreover, the linear codes illustrated in the paper may have applications in secret sharing schemes.

研究の動機と目的

• 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上で、符号理論および暗号理論への応用を目的として、少数の重み（三つまたは五つ）を持つ線形符号を構成すること。
• 特に $m$ が偶数または奇数であり、$p$ が $m$ を割るか否かに応じた場合の、$m$ と $p$ のさまざまなケースにおける、これらの符号の正確な重み分布を同定すること。
• 重みの最小値と最大値の比 $w_{\min}/w_{\max}$ を分析することにより、秘密分散方式への適用が可能となる条件を確立すること。
• 有限体におけるトレース関数と定義集合を用いた、従来の少数重み符号の構成を一般化すること。

提案手法

• 符号 ${\mathcal{C}}_D$ は、$D$ を $\mathbb{F}_q$ の非ゼロ元で $\mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0$ を満たす集合とするとき、$\{ (\mathrm{Tr}(x d_1), \dots, \mathrm{Tr}(x d_n)) \mid x \in \mathbb{F}_q \}$ として定義される。
• 重み分布は、ガウス和および指標和の性質を用いて導出され、特に二次指標 $\eta$ とトレース関数 $\mathrm{Tr}$ が関与する。
• 重みごとの符号語の数は、$\mathrm{Tr}(x d_i)$ と $b \in \mathbb{F}_q$ に対する $\mathrm{Tr}(b)$ および $\mathrm{Tr}(b^2)$ の値に関連する、補題14, 15, 17, 18, 24 を用いて計算される。
• 符号のパラメータ（長さ、次元、最小距離）は、定義集合 $D$ のサイズとトレース関数の像に基づいて決定される。
• 重み生成関数は、最初の二つのプレス・パワー・モーメントから導かれる方程式系を解くことで計算され、符号語総数および重みの総和と整合性を保つ。
• 理論的分析では、恒等式 $G = -(-1)^{m(p-1)/4} p^{m/2}$ を用いて、重みの多重度を $p$, $m$, およびガウス和の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上で、$D = \{x \in \mathbb{F}_q^* : \mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0\}$ により定義される線形符号 ${\mathcal{C}}_D$ の重み分布は何か？
• RQ2 パrameter $m$ が偶数または奇数であり、$p$ が $m$ を割るか否かに応じて、符号 ${\mathcal{C}}_D$ のパラメータと重み分布はどのように変化するか？
• RQ3 三つまたは五つの重みを持つ構成された符号は、秘密分散方式に使用可能か。どのような条件下で可能か？
• RQ4 これらの符号の最小距離の正確な値と比 $w_{\min}/w_{\max}$ は何か。また、$(p-1)/p$ を超えるか？
• RQ5 ガウス和と指標和は、重み分布の正確な計算にどのように寄与するか？

主な発見

• $m > 2$ が偶数で $p \mid m$ の場合、符号 ${\mathcal{C}}_D$ は三つの重みを持つ $[p^{m-1} - 1 + p^{-1}(p-1)G, m]$ 符号であり、$G = -(-1)^{m(p-1)/4} p^{m/2}$ である。
• $m$ が偶数で $p \nmid m$ の場合、符号 ${\mathcal{C}}_D$ は五つの重みを持つ $[p^{m-1} - p^{-1}G - 1, m]$ 符号であり、重み分布は表2で完全に特定されている。
• $m$ が奇数で $p \mid m$ の場合、符号 ${\mathcal{C}}_D$ のパラメータは $[p^{m-1} - 1, m]$ であり、五つの異なる非ゼロ重みを持つ。詳細は表3に示されている。
• $m \geq 5$ の場合、符号の $w_{\min}/w_{\max}$ の比は $(p-1)/p$ を超え、興味深いアクセス構造を持つ秘密分散方式を構築するための必要条件を満たす。
• $(p,m) = (3,6)$ の符号は長さ260、次元6、最小距離162、重み生成関数 $1 + 98x^{162} + 324x^{171} + 306x^{180}$ を持つ。
• $(p,m) = (3,4)$ の符号は長さ29、次元4、最小距離18であり、codetablesによると最適である。重み生成関数は $1 + 44x^{18} + 30x^{21} + 6x^{24}$ である。