[論文レビュー] A Class of Two-Weight and Three-Weight Codes and Their Applications in Secret Sharing

Kelan Ding, Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、トレース関数 Tr(x²) = 0 を定義集合として用いることにより、GF(p) 上の二重量および三重量線形符号のクラスを構築し、最適または準最適なパラメータを持つ符号をもたらす。主な貢献は、これらの符号を秘密分散方式に応用した点であり、符号の双対符号が最小符号語を生成し、特に m ≥ 5 または m ≥ 6 の場合に整然としたアクセス構造をもたらす。

ABSTRACT

In this paper, a class of two-weight and three-weight linear codes over $\gf(p)$ is constructed, and their application in secret sharing is investigated. Some of the linear codes obtained are optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes. These codes have applications also in authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs, in addition to their applications in consumer electronics, communication and data storage systems.

研究の動機と目的

• GF(p) 上の新しい二重量および三重量線形符号のクラスをトレース関数を用いて構築すること。
• これらの符号が構造的アクセス制御を持つ秘密分散方式にどのように応用できるかを調査すること。
• これらの符号が線形符号に関する既知の境界に達している、あるいは最適であることを示すこと。
• 強正則グラフ、関連スキーム、および認証コードとの関係を調査すること。
• ガウス和を用いて符号の完全な重み分布が導出可能であることを示し、さらなる暗号的応用を可能にすること。

提案手法

• D = {x ∈ GF(q)* : Tr(x²) = 0} とし、コード CD を、x ∈ GF(q) に対して (Tr(xd₁), ..., Tr(xdn)) のすべてのベクトルの集合として定義する。
• トレース関数 Tr: GF(q) → GF(p) および二次形式の性質を用いて重み分布を導出する。
• ガウス和を用いて符号の完全な重み分布を計算し、認証コード構築に不可欠な要因とする。
• 双対符号における符号語の最小性を分析し、秘密分散方式におけるアクセス構造を特定する。
• GF(p)*-同値性を除くことにより、元の符号を短縮し、より単純な重み分布を持つ短い符号を取得する。
• m ≥ 5（奇数）または m ≥ 6（偶数）のとき、双対符号におけるすべての非ゼロ符号語が最小であることを証明し、明確なアクセス構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tr(x²) を用いて GF(p) 上の二重量および三重量符号のクラスを構築できるか？
• RQ2 これらの符号は、最小距離およびサイズの観点で最適または準最適なパラメータを達成するか？
• RQ3 これらの符号の完全な重み分布は何か？ また、ガウス和を用いて計算可能か？
• RQ4 これらの線形符号の双対符号は、最小アクセス構造を持つ秘密分散方式をどのように導くか？
• RQ5 これらの符号を用いて新しい認証コード、関連スキーム、または強正則グラフを構築できるか？

主な発見

• 奇数の m > 1 に対して、コード CD はパラメータ [p^{m-1} - 1, m] を持ち、3つの非ゼロ重みを持つ。その重み分布は表 I に明示的に示されている。
• 偶数の m ≥ 2 に対して、コード CD はパラメータ [p^{m-1} - (-1)^{(p-1)²m/4} (p-1)p^{(m-2)/2} - 1, m] を持ち、重み分布は表 II に示されている。
• 短縮符号 C_D̄ はパラメータ [(p^{m-1} - 1)/(p - 1), m] を持ち、奇数の m > 1 に対してその重み分布は表 III に示されている。
• m ≥ 5 のとき、双対符号 C_D̄⊥ のすべての非ゼロ符号語が最小であるため、p^{m-2} 人の参加者と p^{m-1} 個の最小アクセス集合を持つ秘密分散方式が得られる。
• 例 5（p = 5, m = 5）では、125 人の参加者、625 個の最小アクセス集合があり、各参加者は 500 個のアクセス集合に属する。
• これらの符号は、既知の線形符号の境界に達しており、最適であるとされる。また、完全な重み分布はガウス和を用いて導出可能である。