[論文レビュー] A Classical Family of Elliptic Curves having Rank One and the $2$-Primary Part of their Tate-Shafarevich Group Non-Trivial

Yukako Kezuka, Yongxiong Li|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$p \equiv 2$ または $5 \pmod{9}$ のとき、楕円曲線 $C_{2p}: x^3 + y^3 = 2p$ および $C_{2p^2}: x^3 + y^3 = 2p^2$ に対して、Birch–Swinnerton-Dyer予想の3部部分を確立し、これらの曲線の2-Selmer群と $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ の理想類群の2ランクの間の明示的な関係を証明する。主な貢献は、2次主部が非自明なランク1の楕円曲線の明示的族を構成することにある。

ABSTRACT

We study elliptic curves of the form $x^3+y^3=2p$ and $x^3+y^3=2p^2$ where $p$ is any odd prime satisfying $p\equiv 2\bmod 9$ or $p\equiv 5\bmod 9$. We first show that the $3$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture holds for these curves. Then we relate their $2$-Selmer group to the $2$-rank of the ideal class group of $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ to obtain some examples of elliptic curves with rank one and non-trivial $2$-part of the Tate-Shafarevich group.

研究の動機と目的

• 論文の目的は、曲線の積ではなく個々の曲線 $C_{2p}$ および $C_{2p^2}$ に対して、Birch–Swinnerton-Dyer予想の3部部分を証明することである。
• これらの楕円曲線の2-Selmer群と純立方体体 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ の理想類群の2ランクとの間の理論的関係を確立することである。
• 有理数体 $\mathbb{Q}$ 上でランク1で、Tate–Shafarevich群の2次主部が非自明な楕円曲線の明示的族を構成することである。
• それらの曲線の存在を、数値計算以外の理論的枠組みで説明する枠組みを提供することである。

提案手法

• 著者たちは、和の中での個々のL値を分離するために、『3を法とする明示的Birch–Swinnerton-Dyer予想』を導入し、チョウの平均化法の限界を克服する。
• 彼らは、複素乗法に関するデューリングの定理とモジュラー記号を用いて、$s=1$ におけるL関数の代数的部の有理数性および整数性を示し、$\Omega_n = \Omega / \sqrt{3} \cdot n^{1/3}$ で正規化する。
• 3部BSDの証明は、3進付値を用いた個々のL値の合同関係を分析することに依拠する。
• 2部に関しては、級数体理論と2パリティ予想を用いて、$C_{2p}$ や $C_{2p^2}$ の2-Selmer群と $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ の理想類群の2ランクとの関係を確立する。
• 彼らは、非分岐2拡大および平方ノルムの単数的でない理想に対応する $L^\times / (L^\times)^2$ の部分群 $N_1 \subseteq \mathrm{Sel}_2(E) \subseteq N_2$ を定義する。
• 2-Selmer群の次元は、$\mathrm{Cl}(L)[2]$ の2ランクと単数群を用いて計算され、ディリクレの単数定理および $\mathrm{Cl}(L)/2\mathrm{Cl}(L)$ の構造が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \equiv 2$ または $5 \pmod{9}$ のとき、$C_{2p}$ および $C_{2p^2}$ の個々の曲線に対してBirch–Swinnerton-Dyer予想の3部部分は成り立つか？
• RQ2 $C_{2p}$ や $C_{2p^2}$ の2-Selmer群と $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ の理想類群の2ランクとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 この関係を用いて、ランク1でTate–Shafarevich群の2次主部が非自明な楕円曲線を構成できるか？
• RQ4 このような曲線は無限に存在するか、それともその存在の密度推定値を与えることができるか？
• RQ5 標準的な平均化法は和しか制御できないが、個々のL値の3進付値は和から分離可能か？

主な発見

• $p \equiv 2$ または $5 \pmod{9}$ のとき、$C_{2p}$ および $C_{2p^2}$ に対してBirch–Swinnerton-Dyer予想の3部部分が個別に成立し、$s=1$ でL値が消えないことが保証される。
• $p \equiv 5 \pmod{9}$ のとき、代数的L値は $L(C_{2p},1)/(3\Omega_{2p}) \equiv L(C_{2p^2},1)/(3\Omega_{2p^2}) \equiv 1 \pmod{3}$ を満たす。
• $p \equiv 2 \pmod{9}$ のとき、合同関係 $L(C_{2p^2},1)/(3\Omega_{2p^2}) \equiv L(C_{2p},1)/(3\Omega_{2p}) \equiv 1 \pmod{3}$ が成り立つ。
• 曲線 $C_{2p}$（および $C_{2p^2}$）の2-Selmer群の次元は、$k$ または $k+1$ であり、ここで $k = \mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})))$ であり、根数の符号に依存する。
• 曲線 $C_{2p}$ がランク1で $X(C_{2p})[2]$ が非自明であるための必要十分条件は、$p \equiv 2 \pmod{9}$ のとき $\mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p}))) \geq 2$ であることである。
• 数値的証拠によると、$p < 10^6$ の範囲で、$p \equiv 2 \pmod{9}$ である13,099個の素数のうち1852個、$p \equiv 5 \pmod{9}$ である13,068個の素数のうち1629個が $\mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p}))) \geq 2$ を満たしており、これによりこのような曲線が多数存在することが示唆される。