[論文レビュー] A classical history theory: Geometrodynamics and general field dynamics regained

I Kouletsis|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 1998

History and Theory of Mathematics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、幾何力学および一般場力学を、等時ポアソン括弧の代わりに一般時括弧を用いることで、正準変数のみから再構築する古典的歴史理論を展開する。追加の仮定を必要とせず、ハミルトニアン代数と制約を導出することで、経路に依存しない共変な形式的枠組みを確立し、従来の手法を一般化し、古典場理論における歴史依存的力学の基礎を提供する。

ABSTRACT

Assuming that the Hamiltonian of a canonical field theory can be written in the form N H + N^i H_i, and using as the only input the actual choice of the canonical variables, we derive: (i) The algebra satisfied by H and H_i, (ii) any constraints, and (iii) the most general canonical representation for H and H_i. This completes previous work by Hojman, Kuchar and Teitelboim who had to impose a set of additional postulates, among which were the form of the canonical algebra and the requirement of path-independence of the dynamical evolution. A prominent feature of the present approach is the replacement of the equal-time Poisson bracket with one evaluated at general times. The resulting formalism is therefore an example of a classical history theory -- an interesting fact, especially in view of recent work by Isham et al.

研究の動機と目的

• 経路に依存しない性質や事前に定義された代数的構造といった便宜的仮定に依存しない、古典場理論の正準形式を構築すること。
• 等時括弧の代わりに一般時ポアソン括弧形式を用いて、幾何力学および一般場力学を再構築すること。
• 正準変数のみから、ハミルトニアンおよび運動量制約の最も一般な正準表現を導出すること。
• ホフマン、クチャール、タイテルボイムの先行研究を、追加の仮定を排除することで完全化・一般化すること。

提案手法

• 形式的枠組みは、N H + N^i H_i として表される正準ハミルトニアンから出発する。ここで、N および N^i は lapse 関数およびシフト関数である。
• 標準的な等時括弧の代わりに、一般時ポアソン括弧構造を採用することで、歴史依存的力学を可能にする。
• 正準変数の選択のみを入力として、H および H_i の代数を正準構造から直接導出する。
• ハミルトニアンおよび運動量制約によって生成される時間発展に関する整合性条件を通じて、制約を体系的に同定する。
• 経路に依存しない性質や正準代数の形を事前に仮定せず、正準変数からそれらを導出する。
• 得られる形式的枠組みは明示的に共変であり、基本変数の言語で正準力学の完全な表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典場理論の正準代数および制約は、追加の仮定を一切用いずに、正準変数の選択のみから導出可能か？
• RQ2 一般時括弧を用いることで、正準場理論において経路に依存しない共変な力学をどのように達成できるか？
• RQ3 最小限の仮定のもとで、ハミルトニアンおよび運動量制約の最も一般な正準表現は何か？
• RQ4 等時ポアソン括弧を一般時括弧に置き換えると、幾何力学の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ホフマン、クチャール、タイテルボイムの形式的枠組みは、代数の形や経路に依存しない性質を事前に仮定せずに、完全化可能か？

主な発見

• 本稿では、その形を事前に仮定せず、正準変数から直接ハミルトニアンおよび運動量制約が満たす代数を導出する。
• H および H_i の最も一般な正準表現を同定し、その構造が正準変数によって一意に決定されることを示す。
• 形式的枠組みは等時ポアソン括弧を一般時括弧に置き換えることで、一貫性のある古典的歴史理論を導く。
• 得られる力学は経路に依存せず共変的であり、追加の仮定を必要とせず、一般場力学の要件を満たす。
• ホフマン、クチャール、タイテルボイムの先行研究を、補助的仮定に依存しない形で完全化・一般化する。
• 理論は、正準構造と時刻スライスによる時間発展に基づく、幾何力学および場力学の新たな基礎を提供する。