[論文レビュー] A Classification of (2+1)D Topological Phases with Symmetries

Tian Lan|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限の局所ユニタリ対称性を持つ(2+1)Dトポロジカル相を、三層構造のカテゴリカル枠組みを用いて完全に分類する。局所励起には対称的融合カテゴリ（Rep(G) または sRep(G^f)）、任意 anyon にはユニタリbraided融合カテゴリ（UMTC_{/E}）、ゲージ化理論には最小モジュラー拡張（M）を用い、中央電荷 c を追加することで曇りを解消する。分類は、バルク anyon と保護されたエッジ状態（SPT相やE8状態を含む）を両方とも捉える。

ABSTRACT

This thesis aims at concluding the classification results for topological phases with symmetry in 2+1 dimensions. The main result is that topological phases are classified by a triple of unitary braided fusion categories $\mathcal E\subset\mathcal C\subset\mathcal M$ plus the chiral central charge $c$. Here $\mathcal E$ is a symmetric fusion category, $\mathcal E=\mathrm{Rep}(G)$ for boson systems or $\mathcal E=\mathrm{sRep}(G^f)$ for fermion systems, consisting of the representations of the symmetry group and describing the local excitations with symmetry; $\mathcal C$ is the category of all the quasiparticle excitations in the bulk, containing $\mathcal E$ as its Müger center; $\mathcal M$ is a minimal modular extension of $\mathcal C$, that also includes the gauged symmetry defects. We also study the stacking of topological phases with symmetry and two types of anyon condensations based on such classification.

研究の動機と目的

• 有限の局所ユニタリ対称性を持つ(2+1)Dトポロジカル相の分類を、ランダウの対称性の自発的破れ理論を越えて完全化すること。
• バルクの準粒子励起と保護されたエッジ状態を統一的な数学的枠組みに統合すること。
• E8状態のようにバルク励起がなく、非自明なエッジ中央電荷を持つような相におけるエッジ物理学の曇りを解消すること。
• カテゴリカル枠組み内にトポロジカル秩序、対称性の豊かさ、SPT相を統一的に記述すること。
• anyonの凝縮とモジュラー拡張を用いて、積み重ねや相転移を体系的に研究可能にする仕組みを提供すること。

提案手法

• 局所励起を対称的融合カテゴリで分類：ボソン系にはRep(G)、フェルミオン系にはsRep(G^f)を用いる。
• すべての準粒子励起を、Müger中心がEに等しいユニタリbraided融合カテゴリCとしてモデル化し、UMTC_{/E}を形成する。
• 対称性をゲージ化して、Cの最小モジュラー拡張Mを導出し、残存対称性のない完全にゲージ化された理論を記述する。
• Mの中央電荷cを用いて、カテゴリカルデータだけでは区別できない相（例：E8状態）を区別する。
• anyonの凝縮を適用して、相を同値類にグループ化し、トポロジカル相転移を記述する。
• 積み重ね演算を用いて、Rep(G)のモジュラー拡張から、既知の分類（例：ボソン的SPT相のH^3(G,U(1))）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の局所ユニタリ対称性を持つ(2+1)Dトポロジカル相を、対称性の自発的破れ理論を越えて完全に分類するにはどうすればよいか？
• RQ2 E8状態のようにカテゴリカルデータだけでは区別できないが、中央電荷cが非自明な相（例：c=8のホロノミックエッジを持つE8状態）を区別する中央電荷cの役割は何か？
• RQ3 対称的融合カテゴリのモジュラー拡張が、SPT相や可逆的相を含むトポロジカル相の完全な構造をどのように捉えるか？
• RQ4 anyonの凝縮と積み重ね演算は、異なるトポロジカル相の関係をどのように明らかにし、相転移を記述するか？
• RQ5 この分類枠組みは、反ユニタリ、連続的、あるいは時空対称性を含めるように拡張可能か？

主な発見

• トポロジカル相は三重組 (E ⊂ C ⊂ M, c) で分類され、E = Rep(G) または sRep(G^f)、C はUMTC_{/E}、M はCの最小モジュラー拡張である。
• 中央電荷cがE8状態の曇りを解消する。E8状態はバルクにanyonを持たないが、c=8のホロノミックエッジを持つ。
• 分類は、Rep(G)のモジュラー拡張の積み重ねから、既知のボソン的SPT相のH^3(G,U(1))分類を再現する。
• この枠組みは、sRep(G^f)のモジュラー拡張を通じて、対称性を持つ可逆的フェルミオン相の分類を予測する。
• 構造Cは、可逆的相を除くトポロジカル相を決定づけ、非可逆的データが非自明なトポロジカル秩序を完全に分類することを示す。
• anyonの凝縮は、トポロジカル相の同値類を明らかにし、トポロジカル相転移に対応する。これにより、体系的な分類と相図の構築が可能になる。