[論文レビュー] A classification of 5-dimensional manifolds, souls of codimension two and non-diffeomorphic pairs

Sadeeb Ottenburger|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、6と互いに素な $ r > 1 $ に対する基本群 $ \mathbb{Z}/r $ を持つ $ S^2 \times S^2 $ に沿ったファイバー化された5次元多様体を分類し、レンズ空間上の複素線束の全空間の一部に対して、非負の断面曲率を持つ完全な計量の無限族を構成する。主な結果は、2次元余次元の対応するソールが互いに同相でない無限個の計量を許容する多様体の存在であり、曲率制約下での非微分同相なソール対の存在に関する問題を解決する。

ABSTRACT

Let T(γ) be the total space of the canonical line bundle γover CP^1 and r an integer which is greater than one and coprime to six. We prove that L_r^3 imes T(γ) admits an infinite sequence of metrics of nonnegative sectional curvature with pairwise non-homeomorphic souls, where L_r^3 is the standard 3-dimensional lens space with fundamental group isomorphic to Z/r. We classify the total spaces of S^1-fibre bundles over S^2 imes S^2 with fundamental group isomorphic to Z/r up to diffeomorphism and use these results to give examples of manifolds N which admit two complete metrics of nonnegative sectional curvature with souls S and S' of codimension two such that S and S' are diffeomorphic whereas the pairs (N,S) and (N,S') are not diffeomorphic. This solves a problem posed by I. Belegradek, S. Kwasik and R. Schultz.

研究の動機と目的

• 6と互いに素な $ r > 1 $ に対して、$ S^2 \times S^2 $ 上の $ S^1 $-ファイバー束の全空間を微分同相型で分類すること。
• 2次元余次元の互いに同相でないソールを備えた、非負の断面曲率を持つ完全な計量を無限に持つ5次元多様体の例を構成すること。
• 非負曲率下での非微分同相なソール対の存在に関する、Belegradek, Kwasik, および Schultz が提示した問題を解決すること。
• 5次元多様体を $ L^{a,b} $ にホモトピー同値とし、$ \pi_1 \cong \mathbb{Z}/r $ であるものについて、$ \rho $-不変量と Reidemeister torsion を用いた分類定理を確立すること。

提案手法

• 単純構造集合における分類結果と手術理論を用いて、$ \pi_1 \cong \mathbb{Z}/r $ を持つ5次元多様体を微分同相型で分類する。
• Grove と Ziller の結果を応用し、第一チャーン類が原始的である $ L^{a,b} $ 上の複素線束の全空間に非負曲率計量が存在することを示す。
• 分類集合 $ \mathcal{L} $ 内の多様体の微分同相型を区別するために、$ \rho $-不変量と Reidemeister torsion $ \Delta(N) $ を不変量として用いる。
• 自明でない正規不変量を持つ自己ホモトピー同値を構成し、特定のコホモロジー同型が微分同相写像によって引き起こされないことを示す。
• 正規 $ s $-コボルディズムの議論とパrameterの合同関係を用いて、特定の代数的条件下で微分同相写像の存在を仮定した場合に矛盾を導く。
• $ r^2 q \neq 0 $ のとき $ \rho $-不変量の単射性を活用し、特定の微分同相写像を除外し、非微分同相なソール対を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の断面曲率を持つ完全な計量を無限に持つ5次元多様体が存在し、それらのソールが互いに同相でない2次元余次元のものがあるだろうか？
• RQ2 同じ多様体上に非負曲率を持つ2つの完全な計量が、微分同相なソールを持つが、非微分同相なソール対を持つことは可能だろうか？
• RQ3 基本群 $ \mathbb{Z}/r $ に対して、$ s^2 = -1 $ または $ s^3 = 1 $ を満たす単元 $ s $ の存在が、ソール対の微分同相型にどのような代数的条件をもたらすか？
• RQ4 $ L_r^3 \times T(\gamma) $ 上の非負曲率計量のモジュライ空間は、無限個の路成分を持つという意味で無限次元的であるだろうか？
• RQ5 多様体 $ M $ に非負曲率計量が存在することは、任意の単純ホモトピー同値な多様体 $ N $ に対しても、同様の計量の存在を示唆するだろうか？

主な発見

• 基本群が $ \mathbb{Z}/r $ に同型であるレンズ空間 $ L_r^3 $ と $ T(\gamma) $ の積からなる多様体 $ L_r^3 \times T(\gamma) $ は、互いに同相でないソールを備えた非負の断面曲率を持つ完全な計量の無限列を許容する。
• モジュライ空間 $ \mathfrak{M}^{c}_{\text{sec} \geq 0}(L_r^3 \times T(\gamma)) $ は無限個の路成分を持つため、ソールが連続的な計量の系列で接続されないことが示される。
• $ r = 5 $ の場合、$ \mathbb{Z}/5 $ 内で $ s = 2 $ が $ s^2 = -1 $ を満たす単元として存在するため、非微分同相なソール対を持つ多様体の例が得られ、[BKS1-09] の問題4.9が解決される。
• 分類定理（定理4）によれば、$ \pi_1 \cong \mathbb{Z}/r $ を持つ2つの5次元多様体 $ N $ と $ N' $ が微分同相であるための必要十分条件は、$ \rho(h_*(g),N) = \rho(g,N') $ かつ $ \Delta(N) \sim \Delta(N') $ を満たす向きを保つホモトピー同値 $ h $ が存在することである。
• $ r $ に $ s^3 = 1 $ を満たす非自明な単元がなく、$ q $ が $ r $ で割り切れないとき、対 $ (N^{r,qr}_x, S) $ が微分同相であるための必要十分条件は $ S $ と $ S' $ が微分同相であることである。この場合、剛性が成立する。
• 自明でない正規不変量を持つ自己ホモトピー同値が存在し、それが微分同相写像によって実現されないことは、特定のコホモロジー同型が微分同相写像によって引き起こされないことを示し、非微分同相なソール対を導く。