[論文レビュー] A classification of Artin-Schreier defect extensions and a characterization of defectless fields

Franz‐Viktor Kuhlmann|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、p 次の純正規拡大拡張の生成子 ϑ を、K における非自明な純正規拡大拡張から得ることによって、値付値体における Artin-Schreier の欠損拡大を分類する。主な結果は、このような欠損拡大が存在するための必要十分条件が、η と K 間の距離と b の値付の関係を含む値付不等式であることを示している。特に、ϑ と K 間の距離は、v(b) と dist(η, K) を用いた式で正確に決定される。

ABSTRACT

We classify Artin-Schreier extensions of valued fields with non-trivial defect according to whether they are connected with purely inseparable extensions with non-trivial defect, or not. We use this classification to show that in positive characteristic, a valued field is algebraically complete if and only if it has no proper immediate algebraic extension and every finite purely inseparable extension is defectless. This result is an important tool for the construction of algebraically complete fields. We also consider extremal fields (= fields for which the values of the elements in the images of arbitrary polynomials always assume a maximum). We characterize inseparably defectless, algebraically maximal and separable-algebraically maximal fields in terms of extremality, restricted to certain classes of polynomials. We give a second characterization of algebraically complete fields, in terms of their completion. Finally, a variety of examples for Artin-Schreier extensions of valued fields with non-trivial defect is presented.

研究の動機と目的

• 非自明な欠損を有する値付体における Artin-Schreier の欠損拡大を分類すること。
• 体が従属的な Artin-Schreier の欠損拡大を許容する条件を特徴づけること。
• 初期の生成子 η と導出された Artin-Schreier 生成子 ϑ の K からの距離の間の明確な関係を確立すること。
• 値付理論的条件を用いて、このような欠損拡大の存在を特徴付ける基準を提示すること。

提案手法

• K における非自明な純正規拡大拡張 K(η)|K の次数が p で、η ∉ K_c であると仮定し、η と K との距離を ε := dist(η, K) と定義する。
• 任意の b ∈ K× に対して、(p−1)vb + vη > pε という条件を検討し、従属的な Artin-Schreier の欠損拡大が存在するかどうかを決定する。
• ϑ^p − ϑ = (η/b)^p を満たす生成子 ϑ を構成し、K 上での Artin-Schreier 拡大を生成することを保証する。
• dist(ϑ, K) = dist(η, K) − vb を証明し、新たな生成子の距離が b の値付と元の距離に依存することを示す。
• 値付理論的道具を用いて欠損を解析し、すべてのこのような拡大が従属的であることを示す。
• 非自明な欠損を有する値付体における、即時拡大の理論と Artin-Schreier 理論を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、値付体 K が従属的な Artin-Schreier の欠損拡大を許容するか？
• RQ2 初期の要素 η と b の値付に依存する Artin-Schreier 生成子 ϑ と K 間の距離はどのように関係するか？
• RQ3 このような欠損拡大の存在を特徴付ける値付不等式は何か？
• RQ4 この方法で得られるすべての Artin-Schreier の欠損拡大は、従属的と分類できるか？
• RQ5 即時純正規拡大の構造は、欠損拡大の構成とどのように関係するか？

主な発見

• 従属的な Artin-Schreier の欠損拡大 K(ϑ)|K が存在するための必要十分条件は、ある b ∈ K× に対して不等式 (p−1)vb + vη > pε が成り立つことである。
• Artin-Schreier 生成子 ϑ と K 間の距離は、正確に dist(ϑ, K) = dist(η, K) − vb に等しい。
• この方法で構成されたすべての Artin-Schreier の欠損拡大は従属的であり、すなわち非自明な欠損を伴って生じる。
• この構成により、b の値付と η と K 間の距離に依存する、このような欠損拡大の完全な分類が得られる。
• この結果により、基本体の値付的性質と欠損拡大の存在との間の明確な関係が確立される。
• この手法により、与えられた条件下でこのような欠損拡大が存在しないことと、欠損のない体の特徴づけが得られる。