[論文レビュー] A Classification of Deterministic Hunt Processes with Some Applications

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、生成路線を用いてℝ上の決定的ハント過程を分類し、すべてのsuchな過程が可算個の厳密に増加する全単射関数族から生じることを証明する。主な貢献は、Cinlarら（1980年）の意味でのイト過程でないハント半マルティンゲールを構成し、イト過程クラスがハント半マルティンゲールの中で真に狭いかどうかという長年の問いに答えることにある。

ABSTRACT

Deterministic processes form an important building block of several classes of processes. We provide a method to classify deterministic Hunt processes. Within this framework we characterize different subclasses (e.g. Feller) and construct some (counter-)examples. In particular the existence of a Hunt semimartingale (on R) which is not an Itô process in the sense of Cinlar, Jacod, Protter and Sharpe (1980) is proven.

研究の動機と目的

• 生成路線を用いて実数直線上の決定的ハント過程の分類枠組みを提供すること。
• 決定的ハント過程の枠組みの中で、フレラー過程やリッチフレラー過程といった部分クラスを特徴づけること。
• すべてのハント半マルティンゲールがイト過程であるとは限らないことを示す反例を構成すること。
• 決定的力学の文脈において、ハント過程、半マルティンゲール、イト過程の関係を明確にすること。
• 経路の正則性および変動性が、決定的過程の半マルティンゲール性を決定する要因として果たす役割を調査すること。

提案手法

• ℝ → ℝ への全単射かつ厳密に増加する生成関数 Φ を用いて、Xₜˣ = Φ(t + Φ⁻¹(x)) と定義することで、決定的ハント過程を定義する。
• ℝ上のすべての決定的ハント過程が、それぞれ異なる生成路線に従う、互いに素な区間の可算個の和集合に分解可能であることを確立する。
• 記号および半マルティンゲール特性を用いて過程の構造を分析し、特にドリフト成分に注目する。
• 確率的時間変換の理論を適用し、すべてのハント過程が、決定的レヴィ過程をベースとする時間変換されたイト過程として生じることを示す。
• 細かく連続な記号および生成作用素の定義域を用いて、豊富性およびフレラー性をテストする。
• 区分的線形関数や特異関数（例：カントール関数）を用いた明示的例を構成し、半マルティンゲール性およびイト過程条件をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ上の決定的ハント過程は、生成路線族によって完全に分類可能か？
• RQ2 Cinlar, Jacod, Protter, Sharpe（1980年）の意味でのすべてのハント半マルティンゲールが、ℝ上でイト過程であるとは限らないか？
• RQ3 決定的ハント過程がフレラーまたはリッチであるための条件は何か？
• RQ4 決定的ハント過程が半マルティンゲールでないことがあるのか、もしそうなら、どのような経路正則性条件下でそうなるか？
• RQ5 決定的過程において、半マルティンゲール特性および記号は、基礎となる生成関数とどのように関係するか？

主な発見

• ℝ上のすべての決定的ハント過程は、可算個の全単射かつ厳密に増加する関数族によって生成され、それぞれが互いに素な区間上で力学を定義する。
• カントール関数を生成路線として用いたカントール過程は、フレラー過程ではあるがリッチでないため、結果としてイト過程ではない。
• ハント半マルティンゲールが必ずしもイト過程ではない。本稿では、このような過程を明示的に構成し、イト過程クラスがハント半マルティンゲールの中で真に狭いかどうかを証明した。
• コンパクト集合上で無限変動を示す生成路線（例：f(t) がコンパクト上で無限変動）を持つ過程は、ハント過程であるが半マルティンゲールではない。
• 決定的過程の記号は、p(x,ξ) = -ib(x)ξ で与えられ、ここで b(x) は経路の局所速度である。この記号は細かく連続ではあるが、必ずしも連続ではない。
• 不連続なドリフト係数（例：sign(x)）を持つ決定的過程であっても、ドリフトが細かく連続であれば、イト過程である可能性がある。