[論文レビュー] A classification of pure states on quantum spin chains satisfying the split property with on-site finite group symmetries

Yoshiko Ogata|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、局所的な有限群の対称性に対して不変である量子スピン鎖上の純粋で分離可能な状態を分類し、対応する表現の第二ホモロジー類が、対称性を保つ準同型同値関係において完全不変量であることを示している。分類はエンタングルメントと対称性の保存を考慮しており、このような状態が常に対称的自己同型によって接続可能であるとは限らないことが明らかになり、その障害はホモロジー類によって完全に記述される。

ABSTRACT

We consider a set $SPG(\mathcal{A})$ of pure split states on a quantum spin chain $\mathcal{A}$ which are invariant under the on-site action $τ$ of a finite group $G$. For each element $ω$ in $SPG(\mathcal{A})$ we can associate a second cohomology class $c_{ω,R}$of $G$. We consider a classification of $SPG(\mathcal{A})$ whose criterion is given as follows: $ω_{0}$ and $ω_{1}$ in $SPG(\mathcal{A})$ are equivalent if there are automorphisms $Ξ_{R}$, $Ξ_L$ on $\mathcal{A}_{R}$, $\mathcal{A}_{L}$ (right and left half infinite chains) preserving the symmetry $τ$, such that $ω_{1}$ and $ω_{0}\circ( Ξ_{L}\otimes Ξ_{R})$ are quasi-equivalent. It means that we can move $ω_{0}$ close to $ω_{1}$ without changing the entanglement nor breaking the symmetry. We show that the second cohomology class $c_{ω,R}$ is the complete invariant of this classification.

研究の動機と目的

• 局所的な有限群の対称性に対して不変であり、スピン鎖上の純粋状態が分離性を満たすものを分類すること。
• このような状態が、エンタングルメントを変更せずに左半分鎖および右半分鎖上で対称性を保つ自己同型によって接続可能かどうかを特定すること。
• この分類の完全不変量を同定し、群の対称性に起因する位相的障害を捉えること。
• 第二ホモロジー類が、量子スピン鎖における対称性保護位相を特徴付ける役割を明らかにすること。

提案手法

• 論文は、有限群 $G$ の局所的作用に対して不変な純粋で分離可能な状態の集合 $SPG({\tilde{A}})$ を定義する。
• 各状態 $\omega \in SPG({\tilde{A}})$ に対して、$G$ の射影表現を構成し、第二ホモロジー類 $c_{\omega,R} \in H^2(G, \mathbb{C}^*)$ を関連付ける。
• 状態 $\omega_0$ と $\omega_1$ が、左および右半分鎖上で対称性を保つ自己同型 $\Xi_L$, $\Xi_R$ を用いて $\omega_1 \sim_{q.e.} \omega_0 \circ (\Xi_L \otimes \Xi_R)$ と同値であるとき、それらは同値と定義する。
• 漸近的内自己同型および準同型同値の結果を用いて、状態の構造とコホホロジー不変量との関係を確立する。
• Glimmの補題およびKadisonの移行定理を含む $C^*$-代数論の技術を用い、状態およびユニタリ演算子の近似性質を確立する。
• 第二ホモロジー類 $c_{\omega,R}$ が $SPG({\tilde{A}})$ 上に定義された同値関係に対して完全不変量であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子スピン鎖上の任意の2つの対称的純粋分離状態は、エンタングルメント構造を変更せずに左半分鎖および右半分鎖上で対称性を保つ自己同型によって接続可能か？
• RQ2 対称性が課された状況で、そのような接続が不可能な場合の障害を特定する位相的または代数的不変量は何か？
• RQ3 群 $G$ の第二ホモロジー類は、分離性を満たす対称的純粋状態の構造から自然にどのように生じるか？
• RQ4 第二ホモロジー類 $c_{\omega,R}$ は、定義された同値関係に関して、このようなすべての対称的純粋分離状態を分類するために十分か？
• RQ5 分離性は、量子スピン鎖における対称性保護位相の可能性をどの程度制限するか？

主な発見

• 第二ホモロジー類 $c_{\omega,R} \in H^2(G, \mathbb{C}^*)$ は、対称性を保つ準同型同値関係における対称的純粋分離状態の分類に対して完全不変量である。
• すべての対称的純粋分離状態が半分鎖上で対称的自己同型によって接続可能であるとは限らず、非自明な位相的障害が存在することが示された。
• 対称的自己同型による状態の接続障害は、状態に付随する射影表現に対応する群 $G$ の第二ホモロジー類によって完全に記述される。
• 分類の結果から、量子スピン鎖における対称性保護位相が $H^2(G, \mathbb{C}^*)$ によって分類されること、かつ、物性物理学における群コホホロジーの概念を一般化していることが明らかになった。
• この結果により、$C^*$-代数の代数的構造と、グローバル対称性を有する量子多体系の位相不変量との明確な関係が確立された。
• 論文は、分離性が左鎖および右鎖間の小さなエンタングルメントを保証しており、対称性を保つ自己同型がこのエンタングルメント構造を保存することを確認した。