[論文レビュー] A Classification of Riemannian manifolds of quasi-constant sectional curvatures

Georgi Ganchev, Vesselka Mihova|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、水平断面曲率の符号に応じて、擬定数曲率（QC）を持つリーマン多様体（QC多様体）を分類する。正の水平断面曲率をもつQC多様体は、ユークリッド空間内の管超曲面と局所等長同型であることが示され、負の曲率をもつ多様体はミンコフスキー空間内の管的時空超曲面と局所等長同型である。主な貢献は、ユークリッド空間またはミンコフスキー空間における共形平坦超曲面の局所理論とQC多様体との間の同値関係を確立し、それによりこれらの超曲面の完全な局所幾何的分類を達成したことにある。

ABSTRACT

Riemannian manifolds of quasi-constant sectional curvatures (QC-manifolds) are divided into two basic classes: with positive or negative horizontal sectional curvatures. We prove that the Riemannian QC-manifolds with positive horizontal sectional curvatures are locally equivalent to canal hypersurfaces in Euclidean space, while the Riemannian QC-manifolds with negative horizontal sectional curvatures are locally equivalent to canal space-like hypersurfaces in Minkowski space. We prove that the local theory of conformally flat Riemannian manifolds, which can be locally isometrically embedded as hypersurfaces in Euclidean or Minkowski space, is equivalent to the local theory of Riemannian QC-manifolds. These results give a local geometric classification of conformally flat hypersurfaces in Euclidean space and conformally flat space-like hypersurfaces in Minkowski space.

研究の動機と目的

• 水平断面曲率の符号に応じて、擬定数曲率（QC）を持つリーマン多様体（QC多様体）を分類すること。
• ユークリッド空間における共形平坦超曲面と、正の水平曲率をもつQC多様体との間の局所幾何的同値関係を確立すること。
• この同値関係を、ミンコフスキー空間における共形平坦時空超曲面と、負の水平曲率をもつQC多様体へと拡張すること。
• ユークリッド空間およびミンコフスキー空間における共形平坦超曲面の完全な局所分類を提供すること。

提案手法

• ユークリッド空間 ℝⁿ⁺¹ における管超曲面およびミンコフスキー空間 ℝⁿ⁺¹₁ における管的時空超曲面を導入・分析し、3つのタイプに分類する。
• QC多様体を、接平面と単位ベクトル場 ξ のなす角度にのみ依存する断面曲率をもつリーマン多様体 (M,g,ξ) として定義する。
• ℝⁿ⁺¹（それぞれ ℝⁿ⁺¹₁）におけるすべての管超曲面が、正（それぞれ負）の水平断面曲率をもつQC多様体であることを証明する。
• 曲率テンソルの分解 R = α²π + αβΦ（正の場合）または R = -α²π - αβΦ（負の場合）を用いて、QC構造を特徴付ける。
• カルタンおよびショーテンの共形平坦超曲面に関する結果を応用し、第二基本形式およびリッチ作用素の構造を導出する。
• 共形平坦リーマン多様体が、単位ベクトル場 ξ を持ち、(M,g,ξ) がQC多様体であるための必要十分条件は、リッチ作用素が多重度が少なくとも n-1 である固有値を持つことであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水平断面曲率が正であるリーマンQC多様体の局所幾何的構造は何か？
• RQ2 水平断面曲率が負であるリーマンQC多様体の局所幾何的構造は何か？
• RQ3 ユークリッド空間における共形平坦超曲面とQC多様体との関係は何か？
• RQ4 ミンコフスキー空間における共形平坦時空超曲面とQC多様体との関係は何か？
• RQ5 共形平坦リーマン多様体がユークリッド空間またはミンコフスキー空間に局所等長同型に埋め込めるためのリッチ作用素の条件は何か？

主な発見

• 水平断面曲率が正である任意のリーマンQC多様体は、ユークリッド空間 ℝⁿ⁺¹ 内の管超曲面と局所ξ-等長同型である。
• 水平断面曲率が負である任意のリーマンQC多様体は、ミンコフスキー空間 ℝⁿ⁺¹₁ 内の管的時空超曲面と局所ξ-等長同型である。
• ユークリッド空間 ℝⁿ⁺¹ 内の umbilical 点を持たない共形平坦超曲面は、局所的に管超曲面の一部である。
• ミンコフスキー空間 ℝⁿ⁺¹₁ 内の umbilical 点を持たない共形平坦時空超曲面は、局所的に管的時空超曲面の一部である。
• 共形平坦リーマン多様体が ℝⁿ⁺¹ または ℝⁿ⁺¹₁ に局所等長同型に埋め込めるための必要十分条件は、そのリッチ作用素が多重度が少なくとも n-1 である固有値を持つことである。
• ユークリッド空間またはミンコフスキー空間における共形平坦超曲面の局所理論は、それぞれ正または負の水平断面曲率をもつQC多様体の局所理論と同値である。