[論文レビュー] A Classification of Trapezoidal Words

Gabriele Fici|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最も長い繰り返し接頭語の構造に基づいて、台形語をオープン型とクローズド型に分類する。オープン台形語は原始的であることが証明され、クローズド台形語はスターミアンであることが示され、さらに台形回文がクローズド（従ってスターミアン）であることが導かれ、スターミアン回文における特別な因子の特徴付けが得られる。

ABSTRACT

Trapezoidal words are finite words having at most n+1 distinct factors of length n, for every n>=0. They encompass finite Sturmian words. We distinguish trapezoidal words into two disjoint subsets: open and closed trapezoidal words. A trapezoidal word is closed if its longest repeated prefix has exactly two occurrences in the word, the second one being a suffix of the word. Otherwise it is open. We show that open trapezoidal words are all primitive and that closed trapezoidal words are all Sturmian. We then show that trapezoidal palindromes are closed (and therefore Sturmian). This allows us to characterize the special factors of Sturmian palindromes. We end with several open problems.

研究の動機と目的

• 最も長い繰り返し接頭語の出現に基づいて、台形語を二つの互いに素なクラスに分類すること。
• オープンおよびクローズド台形語の構造的・組合せ的性質を調査すること。
• 台形語の分類を用いて、スターミアン回文における特別な因子を特徴付けること。
• 台形回文が必然的にクローズドであり、従ってスターミアンであることを確立すること。
• オープンスターミアン語の列挙および特徴付けに関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• すべての $ n \geq 0 $ に対して、長さ $ n $ の異なる因子が高々 $ n+1 $ 個である語を台形語と定義する。これは有限スターミアン語を一般化する。
• クローズド語の概念を導入する：語がクローズドであるとは、その最も長い繰り返し接頭語がちょうど2回出現し、2回目の出現が接尾語として現れる場合を指す。
• クローズドでない台形語をオープン語と定義する。
• 特別な因子（左特別、右特別、双特別）の性質を用いて、台形語の構造を分析する。
• 既知のスターミアン語および中心語に関する結果を適用し、クローズド台形語がスターミアンであり、その最も長い双特別因子が中心語であることを示す。
• 対称性とスターミアン語理論における周期条件を用いて、背理法により台形回文がクローズドであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的性質として、オープン台形語とクローズド台形語をどのように区別できるか？
• RQ2 すべてのオープン台形語は原始的か？
• RQ3 すべてのクローズド台形語はスターミアンか？
• RQ4 台形回文とスターミアン語の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 スターミアン回文の特別な因子は完全に特徴付けられるか？

主な発見

• オープン台形語はすべて原始的である。これは補題13で確立された。
• クローズド台形語はすべてスターミアンである。これは命題12で証明された。
• 台形回文はクローズド語であり、したがってスターミアンである。これは定理16で示された。
• クローズド台形語の最も長い双特別因子は中心語である。これは補題14で述べられている。
• スターミアン回文の特別な因子は、その最も長い左特別因子と右特別因子が一致し、かつ中心語であるという性質によって特徴付けられる。これは系17による。
• 台形回文がクローズド語として特徴付けられることにより、周期条件 $ \pi_w = R_w + 1 $ を満たすことが示され、スターミアン語理論と整合的である。