[論文レビュー] A closed-form multigrid smoothing factor for an additive Vanka-type smoother applied to the Poisson equation

Chen Greif, Yunhui He|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所フーリエ解析を用いて、ポアソン方程式に適用された加法的Vanka型スムージング因子の閉形式式を導出する。要素単位のVankaスムージングは、線形／線形有限要素法におけるスケーリングされた質量行列に等価であることが明らかになり、1回の行列・ベクトル積で低スムージング因子を達成できる、高速でスパースかつ良好に条件付けられた、従来のVankaスムージングの代替手段を提供する。

ABSTRACT

We consider an additive Vanka-type smoother for the Poisson equation discretized by the standard finite difference centered scheme. Using local Fourier analysis, we derive analytical formulas for the optimal smoothing factors for two types of smoothers, called vertex-wise and element-wise Vanka smoothers, and present the corresponding stencils. Interestingly, in one dimension the element-wise Vanka smoother is equivalent to the scaled mass operator obtained from the linear finite element method, and in two dimensions the element-wise Vanka smoother is equivalent to the scaled mass operator discretized by bilinear finite element method plus a scaled identity operator. Based on these discoveries, the mass matrix obtained from finite element method can be used as an approximation to the inverse of the Laplacian, and the resulting mass-based relaxation scheme features small smoothing factors in one, two, and three dimensions. Advantages of the mass operator are that the operator is sparse and well conditioned, and the computational cost of the relaxation scheme is only one matrix-vector product; there is no need to compute the inverse of a matrix. These findings may help better understand the efficiency of additive Vanka smoothers and develop fast solvers for numerical solutions of partial differential equations.

研究の動機と目的

• 局所フーリエ解析を用いて、ポアソン方程式に対する加法的Vankaスムージングの収束挙動を理論的に分析すること。
• 1次元および2次元における頂点単位および要素単位のVankaスムージングの最適スムージング因子の閉形式式を導出すること。
• 要素単位のVankaスムージングとスケーリングされた有限要素質量行列の数学的同等性を特定すること。
• 従来の加法的Vankaスムージングの計算的に効率的な代替手段として、質量に基づく緩和スキームを提案すること。
• 数値実験を通じて解析結果を検証し、マルチグリッドソルバーにおける提案スキームの有効性を示すこと。

提案手法

• 構造的グリッド上での加法的Vanka型スムージングのスムージング因子を計算するために、局所フーリエ解析（LFA）を適用する。
• 1次元および2次元における頂点単位および要素単位のVankaパッチの最適緩和パラメータおよびスムージング因子の解析的公式を導出する。
• 1次元では要素単位のVankaスムージングが線形有限要素から得られるスケーリングされた質量行列に等価であり、2次元では双一次有限要素質量行列にスケーリングされた単位行列を加えたものに等価であることを特定する。
• 逆ラプラシアンの近似として有限要素質量行列を用いた質量に基づく緩和スキームを提案し、部分問題の解法を回避する。
• 数値実験を通じて解析的予測を検証し、LFAの2グリッド収束因子を計算し、スムージング因子と比較する。
• 3次元への拡張として、三線形有限要素質量行列を用いた質量ベースのスムージングを提案する。

Figure 2: Eigenvalue distribution of $\widetilde{E}$ for Vanka-type method with $\nu=1$ . Left: element-wise Vanka. Right: vertex-wise Vanka.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的Vankaスムージングがポアソン方程式に適用された際の、1次元および2次元における最適スムージング因子の閉形式式は何か？
• RQ2 頂点単位および要素単位のVankaスムージングのスタア（ステンシル）は、有限要素質量行列とどのように関係しているか？
• RQ3 有限要素質量行列は、標準的な加法的Vankaスムージングの効果的かつ効率的な代替手段として使用可能か？
• RQ4 なぜ要素単位のVankaスムージングは極めて低いスムージング因子を達成するのか、その理論的根拠は何か？
• RQ5 提案された質量ベースの緩和スキームは、収束性および計算コストの観点から、従来のVankaスムージングと比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 1次元における要素単位のVankaスムージングの最適スムージング因子は 12/17 ≈ 0.706、2次元では 24/25 = 0.96 であり、優れたスムージング性能を示す。
• 1次元では、要素単位のVankaスムージングが線形有限要素から得られるスケーリングされた質量行列に数学的に等価である。
• 2次元では、要素単位のVankaスムージングが双一次有限要素質量行列にスケーリングされた単位行列を加えたものに等価である。
• 提案された質量ベースの緩和スキームは、ω = 3/4 のとき2次元で2グリッド収束因子 0.333 を達成し、理論的スムージング因子と一致する。
• 1次元における頂点単位のVankaスムージングはスムージング因子が 81/104 ≈ 0.779 とやや高いが、LFAの2グリッド収束因子は 0.067 であり、スムージング因子と実際の収束の間にわずかな差があることが示唆される。
• 3次元における質量ベースのスムージングは、ω = 729/848 のとき2グリッド収束因子 0.618 を達成し、次元が増加しても強力な性能を示す。

Figure 3: Element-wise Vanka with $\nu=1$ . Left: the magnitude of eigenvalues of $\widetilde{E}_{e}$ as a function of the Fourier modes, $(\theta_{1},\theta_{2})$ . Right: the magnitude of eigenvalues of $\widetilde{S}_{e}$ as a function of the Fourier modes, $(\theta_{1},\theta_{2})$ .