[論文レビュー] A closed form solution for a stochastic control problem with quasi-polynomial value function

Peter Kratz|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、価値関数が時刻および状態に依存する二次多項式である跳躍付き確率的制御問題の閉形式解を提示する。ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）偏微分方程式（PDE）を解ける常微分方程式（ODE）の連立系に還元することで、拡散成分および跳躍成分の両方の最適制御を明示的に導出する。継続領域と停止領域を分ける時刻に依存する境界を特定する。

ABSTRACT

We study a constrained stochastic control problem with jumps; the jump times of the controlled process are given by a Poisson process. The cost functional comprises quadratic components for an absolutely continuous control and the controlled process and an absolute value component for the control of the jump size of the process. We characterize the value function by a polynomial of degree two whose coefficients depend on the state of the system; these coefficients are given by a coupled system of ODEs. The problem hence reduces from solving the Hamilton Jacobi Bellman (HJB) equation (i.e., a PDE) to solving an ODE whose solution is available in closed form. The state space is separated by a time dependent boundary into a continuation region where the optimal jump size of the controlled process is positive and a stopping region where it is zero. We apply the optimization problem to a problem faced by investors in the financial market who have to liquidate a position in a risky asset and have access to a dark pool with adverse selection.

研究の動機と目的

• ポisson駆動の跳躍と混合二次コストおよび絶対値コスト成分を有する制約付き確率的制御問題を解く。
• 価値関数を状態変数に関して二次多項式（準多項式）として特徴づけ、その係数がODEの連立系に従うことを特定する。
• 継続領域（最適跳躍サイズが正）と停止領域（最適跳躍サイズがゼロ）を分ける時刻に依存する境界を特定する。
• 悪選択のリスクを伴う暗黒市場へのアクセスを有する金融市場における最適リキッド化にこの解を応用する。
• HJB方程式をODE連立系に還元することで、数値的PDE解法を回避する閉形式解を提供する。

提案手法

• 制御された過程をポアソン跳躍時刻と跳躍サイズへの制御を有する跳躍拡散過程としてモデル化する。
• コスト関数に、拡散制御および状態過程の二次項と、跳躍サイズ制御の絶対値項を定義する。
• 価値関数が状態変数に関して二次多項式であり、時間に依存する係数を持つと仮定する。
• HJB方程式を用いて、価値関数の係数に関する連立常微分方程式（ODE）を導出する。
• ODE連立系を閉形式で解き、最適制御方策の明示的表現を導出する。
• 最適方策を時刻に依存する境界として特定する：継続領域では正の跳躍制御、停止領域ではゼロの跳躍制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 跳躍と混合二次および絶対値コスト成分を有する確率的制御問題に対して、閉形式解を導出可能か？
• RQ2 最適跳躍サイズ制御は状態および時刻にどのように依存するか？また、継続領域と停止領域を分ける境界は何か？
• RQ3 この設定において、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）PDEはどの程度ODE連立系に還元可能か？
• RQ4 価値関数の構造（準多項式）は、最適制御の明示的特徴づけをどのように可能にするか？
• RQ5 悪選択を伴う暗黒市場へのアクセスを有する状況における、導出された最適リキッド化戦略の金融的解釈は何か？

主な発見

• 価値関数は、状態変数に関して時間に依存する係数を持つ二次多項式として明示的に特徴づけられる。
• 価値関数の係数は、閉形式解を有する連立ODEを満たす。
• 最適跳躍サイズは、時刻に依存する境界で定義される継続領域では正であり、停止領域ではゼロである。
• HJB PDEは効果的にODE連立系の解法に還元され、数値的PDE解法手法を回避できる。
• 悪選択リスクを伴う暗黒市場へのアクセスを有する金融市場における最適リキッド化のための取り扱いやすいフレームワークを提供する。
• 解の構造により、数値近似を用いずに最適制御方策の明示的計算が可能となる。