[論文レビュー] A coarea-type formula for the relaxation of a generalized elastica functional

Simon Masnou, Giacomo Nardi|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化された弾性エネルギー関数 functional の L¹-下半連続包を特徴づけるコアリオ型の公式を確立する。任意の BV 関数に対して、緩和エネルギーが、各レベル集合の境界が曲率が制御された W²ᵖ 曲線で被覆されるようなレベル集合の積分として表現できることを示す。主な結果は、レベル線に沿って総 p-弾性エネルギーを最小化する滑らかな曲線の族を用いた、緩和の変分的特徴づけである。

ABSTRACT

We consider in R^2 the generalized elastica functional defined, for smooth functions, as the p-elastica energies of the level lines integrated over all levels. Extending the functional to L1, we study its L1-lower semicontinuous envelope and we prove that, for any u in BV, the envelope at u can be represented by a coarea-type formula involving suitable collections of W2,p curves that cover the essential boundaries of the level sets of u.

研究の動機と目的

• C² 関数上で定義された一般化された弾性エネルギー関数 functional の L¹-下半連続包を特徴づけること。
• 古典的なコアリオ公式を、BV 関数における曲率依存エネルギーを含む緩和的設定に拡張すること。
• 上位集合の境界を被覆する W²ᵖ 曲線の族を用いた、緩和エネルギーの変分的表現を提供すること。
• L¹ における元の関数 functional の下半連続性の欠如を解消し、BV 内での近似により明確に定義された緩和を構築すること。
• BV(Ω) と BV₀(Ω) における緩和の違いを、反例の構成と局所化性の証明により明確にすること。

提案手法

• 著者らは、R² 上で |∇u|(1 + |div(∇u/|∇u|)|ᵖ) の積分として定義される一般化された弾性エネルギー関数 F(u) を定義し、p > 1、α = β = 1 とする。
• C² 関数による近似を用い、直接法を用いて u ∈ BV(R²) に対して L¹-下半連続包 F̄(u) を考察する。
• コアリオ型の公式が導出され、F̄(u) が t ∈ R における p-弾性エネルギー W({u > t}) の積分として表現されることを示す。
• p-弾性エネルギー W(E) は、C² 境界に対して ∫_{∂E} (1 + |κ|ᵖ) dℋ¹ で定義され、それ以外の場合は +∞ とする。
• 緩和は、上位集合 {u > t} の本質的境界を被覆する W²ᵖ 曲線の族に関する最小化問題によって特徴づけられる。
• 証明はサードの補題、BV 内のコンパクトネス、およびエネルギーが一様に有界な C²_c(Ω) 内の近似列の構成に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BV 関数に対して、一般化された弾性エネルギー関数 functional の L¹-下半連続包はどのように表現できるか？
• RQ2 元の関数 functional が L¹ で下半連続でない場合でも、緩和エネルギーに対してコアリオ型の公式を確立できるか？
• RQ3 W²ᵖ 曲線は、BV 関数のレベル集合の緩和エネルギーを特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 コンパクトな台を持つ BV 関数を近似する際、F̄(u, Ω) と F̄₀(u, Ω) の緩和はどのように異なるか？
• RQ5 緩和エネルギーの最小化解の幾何的構造は、曲率と曲線の族の観点からどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 一般化された弾性エネルギー関数 functional の L¹-下半連続包 F̄(u) が有限であるための必要十分条件は、上位集合 {u > t} の本質的境界が、有限の p-弾性エネルギーを持つ W²ᵖ 曲線の族で被覆可能であることである。
• 任意の u ∈ BV(R²) に対して、緩和エネルギー F̄(u) はコアリオ型の表現を有する：F̄(u) = ∫_ℝ W({u > t}) dt であり、ここで W(E) は境界 ∂E の p-弾性エネルギーである。
• 一般に、BV₀(Ω) 内の緩和 F̄₀(u, Ω) は、F̄(u, Ω) よりも厳密に小さい。例 4.4 で示されるように、C²(Ω) 内の列は C²_c(Ω) 内の列よりも低いエネルギーをもたらす。
• コンパクトな台と有限な緩和エネルギーを持つ関数に対して、緩和は局所的である：ある有界な領域 Ω が u の台を含むとき、F̄(u) = F̄₀(u|_Ω, Ω) が成り立つ。
• 関数 F は L¹(R²) で下半連続でない。C² 関数の列が、有限正の境界を持つ特性関数に L¹ 収束するが、エネルギーは有界のままであり、極限関数は C² に属さない反例により示される。
• BV(R²) 内で緩和エネルギーの最小化問題は適切に定義されており、コンパクトネスと緩和関数の下半連続性により、最小解の存在が保証される。