[論文レビュー] A cocycle in the adjoint representation of the orthogonal free quantum groups

Pierre Fima, Roland Vergnioux|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、直交自由量子群 $Δ\mathbb{F}O_n$ が内部アメーブルでないことを確立し、正則表現に弱く含まれる明示的な適切なコサイクルを構成することで、それらが性質 strong (HH) を満たすことを証明する。これはハーガープの近似性質を強化し、$n\geq3$ の場合、それらに付随するフォン・ノイマン代数 $Σ\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ に対する強い固有性の新たな証明を提供する。この構成は随伴表現におけるコサイクルに依存し、作用素代数における変形技法を活用する。

ABSTRACT

We show that the orthogonal free quantum groups are not inner amenable and we construct an explicit proper cocycle weakly contained in the regular representation. This strengthens the result of Vaes and the second author, showing that the associated von Neumann algebras are full II_1-factors and Brannan's result showing that the orthogonal free quantum groups have Haagerup's approximation property. We also deduce Ozawa-Popa's property strong (HH) and give a new proof of Isono's result about strong solidity.

研究の動機と目的

• 離散的直交自由量子群 $\mathbb{F}O_n$ が内部アメーブルでないことを示し、古典的自由群とは明確な違いを示す。
• 正則表現に弱く含まれる明示的な適切なコサイクルを構成し、ハーガープの近似性質を強化する。
• $\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ が性質 strong (HH) を満たすことを証明する。これはハーガープの性質の強化である。
• 新しいコサイクルと変形技法を用いて、$\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ の強い固有性の再証明を提供する。
• 適切なコサイクルの存在が、強く部分正則表現に属さないことに関連する点を、[Ver12] で示された事実と結びつける。

提案手法

• $\mathbb{F}O_n$ の随伴表現におけるコサイクル $c_X$ を、量子群の $L^2$-空間内に特定の作用素 $X$ を用いて構成する。
• $h$ をハアール状態として GNS 構成を用い、ヒルベルト空間 $H$ と乗法的ユニタリ $V$ を定義する。
• 生成子 $v_{ij}$ に対して $c_X(g) = \sum_{k,l} X_{kl} \Lambda_h(v_{ik}v_{jl})$ という公式を適用し、$X$ を適切に選ぶことで適切性を保証する。
• $X$ のスペクトル的性質を用いて、$\|g\|_2 \to \infty$ のとき $\|c_X(g)\|_2 \to \infty$ を示し、コサイクル $c_X$ が適切であることを確立する。
• [OP10a, OP10b] に由来する変形技法を適用し、$L^2(\tilde{M}) \ominus L^2(M)$ が粗い双加法的モジュールに弱く含まれることを示し、強い固有性を満たす条件を満たす。
• $\mathbb{C}[\mathbb{F}O_n]$ 上の中心的乗法的作用素 $\Delta_X = \delta_X^*\delta_X$ の性質を活用し、古典的手法を量子設定に拡張可能であることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交自由量子群 $\mathbb{F}O_n$ は内部アメーブルか？ そしてこれは古典的自由群とはどのように異なるか？
• RQ2 $\mathbb{F}O_n$ に対して、正則表現に弱く含まれる適切なコサイクルを明示的に構成できるか？
• RQ3 このようなコサイクルの存在が性質 strong (HH) を意味するのか？ そしてこれは $\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ の構造にどのような含意を持つのか？
• RQ4 この新しいコサイクルと変形法を用いて、$\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ の強い固有性を再証明できるか？
• RQ5 このようなコサイクルが強く部分正則表現に属さないことは、$H^1_{(2)}(\mathbb{F}O_n)$ の消滅とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathbb{F}O_n$ は内部アメーブルでないことが判明し、古典的自由群とは明確な違いを示す。
• 正則表現に弱く含まれる明示的な適切なコサイクル $c_X$ が構成され、ハーガープの近似性質が明確な実装を伴って確認された。
• $\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ は、このコサイクルの存在により、ハーガープの性質の強化である性質 strong (HH) を満たす。
• この構成により、$n\geq3$ の場合、[OP10a, OP10b] に由来する変形技法を用いて $\mathcal{L}(\mathbb{F}O_n)$ の強い固有性の新たな証明が可能になった。
• 強い正則表現に属する適切なコサイクルが存在しないことの確認が得られ、これは $H^1_{(2)}(\mathbb{F}O_n)$ の消滅と整合的である。
• $\mathbb{C}[\mathbb{F}O_n]$ 上の中心的乗法的作用素 $\Delta_X = \delta_X^*\delta_X$ の性質により、古典的手法を量子設定に適応可能にした。