[論文レビュー] A cohomological description of connections and curvature over posets

John E. Roberts, Giuseppe Ruzzi|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、部分順序集合（poset）上のゲージ理論のコhomological枠組みを構築する。主 bundle、接続、曲率を非可換Čech型コhomologyを用いてモデル化する。接続が1-コチェーンであり、曲率がその2-コバウンダリーであることを確立し、Ambrose-Singer定理の類似を証明し、平坦な接続がposetの基本群から構造群Gへの群準同型に対応することを示す。

ABSTRACT

What remains of a geometrical notion like that of a principal bundle when the base space is not a manifold but a coarse graining of it, like the poset formed by a base for the topology ordered under inclusion? Motivated by finding a geometrical framework for developing gauge theories in algebraic quantum field theory, we give, in the present paper, a first answer to this question. The notions of transition function, connection form and curvature form find a nice description in terms of cohomology, in general non-Abelian, of a poset with values in a group $G$. Interpreting a 1--cocycle as a principal bundle, a connection turns out to be a 1--cochain associated in a suitable way with this 1--cocycle; the curvature of a connection turns out to be its 2--coboundary. We show the existence of nonflat connections, and relate flat connections to homomorphisms of the fundamental group of the poset into $G$. We discuss holonomy and prove an analogue of the Ambrose-Singer theorem.

研究の動機と目的

• 時空が多様体ではなく部分順序集合（poset）としてモデル化される代数的量子場理論におけるゲージ理論の幾何的枠組みを構築すること。
• コhomological手法を用いて、主bundle、接続、曲率をposetへ一般化すること。
• 平坦な接続とposetの基本群から構造群Gへの群準同型との間の対応を確立すること。
• このコhomological枠組みにおいてホロノミーとゲージ変換を定義・分析すること。
• poset上のバンドル理論的構造に基づく代数的量子場理論を構築する基盤を提供すること。

提案手法

• poset K上の単体的集合を、標準単体の部分順序集合からKへの順序を保つ写像を用いて定義する。
• 群G値のposetの1-コhomologyを導入し、1-コサイクルを主bundleに対応させる。
• 接続を、1-コサイクル（移行関数）と整合性を持つ1-コチェーンとして定義する。
• 曲率を接続の2-コバウンダリーとして定義し、標準的な微分幾何的概念を一般化する。
• ゲージ変換の群を、1-コサイクルの自己同型として構成し、接続に沿って共役作用を施す。
• poset内の経路に沿ったホロノミーを用いて、Ambrose-Singer定理の類似を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体からposetへ、主bundle、接続、曲率の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換群G値のposetの文脈において、接続と曲率のコhomological解釈は何か？
• RQ3 平坦な接続は、posetの基本群からGへの群準同型とどのように関係するか？
• RQ4 このコhomological枠組みにおいて、ホロノミーとゲージ変換を定義できるか？また、標準的な定理の類似が成り立つか？
• RQ5 ゲージ群の構造は何か？また、これはposetの位相にどのように依存するか？

主な発見

• poset上の主bundleの接続は、その曲率が接続の2-コバウンダリーである1-コチェーンとして記述される。
• 非平坦な接続が存在することから、posetの設定下でも曲率が非自明であることが示された。
• 平坦な接続は、posetの基本群からGへの群準同型と一対一に対応する。
• poset内の経路に沿ったホロノミーは適切に定義され、Ambrose-Singer定理のバージョンを満たす。
• ゲージ変換の群は接続に共役作用を施し、Gが可換であるか、posetが単連結である場合には、この群はGと同型である。
• ゲージ群の接続への作用は自由でない。なぜなら、自明な接続はすべてのゲージ変換で固定されるからである。