[論文レビュー] A cohomological formula for the Atiyah-Patodi-Singer index on manifolds with boundary

Carrillo Rouse, Paulo, Paulo Carrillo Rouse+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 43被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、K理論と群ガロア技法を用いて、境界を持つ多様体上のアティヤ＝パトディ＝サインター（APS）インデックスのコhomologicalな公式を提示する。アティヤ＝サインターの手法を一般化し、特に正規被覆への変形と接続群ガロア構成を通じて、$C^*$-代数の群ガロアに関する$K$-理論を用いることで、特異正規バンドル上の積分として表されるインデックス公式を導出し、非コンパクトかつ境界に影響を受ける状況への古典的インデックス定理の拡張を実現する。

ABSTRACT

We give a cohomological formula for the index of a fully elliptic pseudodifferential operator on a manifold with boundary. As in the classic case of Atiyah-Singer, we use an embedding into an euclidean space to express the index as the integral of a cohomology class depending in this case on a noncommutative symbol, the integral being over a $C^\\infty$-manifold called the singular normal bundle associated to the embedding. The formula is based on a K-theoretical Atiyah-Patodi-Singer theorem for manifolds with boundary that is drawn from Connes' tangent groupoid approach.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体におけるアティヤ＝サインターインデックス定理を拡張すること。標準的手法は、非局所的境界条件のため失敗する。
• 非可換位相幾何学と群ガロア$C^*$-代数を用いて、APSインデックスの$K$-理論的枠組みを構築すること。
• 古典的アティヤ＝サインター公式に類似したが、境界付き多様体に適応されたコhomologicalな公式を提供すること。
• ユークリッド空間への埋め込みに関連する特異正規バンドルを通じて、インデックスの幾何的解釈を確立すること。
• コンネスの接続群ガロアの手法を境界付き多様体の設定に一般化し、APS定理の直接的な群ガロア的解釈を回避すること。

提案手法

• 境界付き多様体上のフレドホルム擬微分作用素の解析的インデックスをモデル化するために、群ガロアに関連する$C^*$-代数の$K$-理論を用いる。
• 正規被覆への変形関手を適用し、多様体を$\mathbb{R}^N$に埋め込むための接続群ガロアを構成する。
• コンネス＝トム同型と$\mathbb{R}^N$上の半直積群ガロア構成を用いて、正規バンドルとユークリッド空間との関係を確立する。
• インデックスを微分形式の積分によって計算できる滑らかな多様体としての特異正規バンドルを導入する。
• トム同型、正規バンドルへの制限、ボット周期性を組み合わせた写像の合成として解析的インデックスを実現することで、$K$-理論的APSインデックス定理を確立する。
• チェーン類形式の積分としてのコhomologicalな公式を導出するために、$K$-理論的インデックスをド・ラームコhomologyに翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き多様体におけるアティヤ＝パトディ＝サインターインデックスは、古典的アティヤ＝サインター公式に類似したコhomological形式でどのように表現できるか？
• RQ2 群ガロア$C^*$-代数の$K$-理論を用いることで、境界条件の非局所性を克服できるか？
• RQ3 特異正規バンドルは、インデックスを滑らかな多様体上の積分として実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 接続群ガロア構成は、境界付き多様体に一般化され、APSインデックスを回復できるか？
• RQ5 コンネスの群ガロア的アプローチは、どの程度までAPSインデックス定理の$K$-理論的定式化に適応可能か？

主な発見

• 本論文は、特異正規バンドル上の積分としての新しいコhomologicalなAPSインデックス公式を確立した：$\text{ind}\,D = \int_{N(M)} \text{ch}(\mathscr{T}([\sigma_D]))$。
• 解析的インデックスは、$K^0(T^*M) \xrightarrow{\mathscr{T}} K^0(N(M)) \xrightarrow{j!} K^0(\mathbb{R}^N) \xrightarrow{B} \mathbb{Z}$ の写像の合成として実現され、アティヤ＝サインター分解を一般化する。
• 埋め込みに関連する自由かつ適切な半直積群ガロアを用いることで、整合的な接続群ガロアの変形が保証される。
• 特異正規バンドルが$C^\infty$-多様体であることが示され、コhomologicalな公式における微分形式の積分が可能になる。
• 群ガロア作用の適切性と、写像$h: \mathscr{G} \to \mathbb{R}^N$の単射性に依拠し、接続群ガロア内の列の収束が保証される。
• 最終的な公式は、$\mathbb{R}^N$への埋め込みの選択に依存せず、インデックスが位相的かつその変形に対して不変であるため。