[論文レビュー] A Coinductive Treatment of Infinitary Rewriting

Jörg Endrullis, Helle Hvid Hansen+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、順序数や度合い収束に依存しない無限項書き換えの共帰的枠組みを提示する。無限書き換え関係は、最小固定点と最大固定点を含む固定点方程式によって定義され、定理証明器における形式的定式化を可能にする。Coqを用いた圧縮補題の証明が提示され、無限還元のための新しい共帰的証明項が導入される。

ABSTRACT

We introduce a coinductive definition of infinitary term rewriting. The setup is surprisingly simple, and has in contrast to the usual definitions of infinitary rewriting, neither need for ordinals nor for metric convergence. While the idea of a coinductive treatment of infinitary rewriting is not new, all previous approaches were limited to reductions of length at most omega. The approach presented in this paper is the first to capture the full infinitary term rewriting with reductions of arbitrary ordinal length. Apart from an elegant reformulation of known concepts, our approach gives rise, in a very natural way, to a novel notion of infinitary equational reasoning.

研究の動機と目的

• 順序数や度合い収束に依存しない共帰的枠組みによる無限書き換えの処理の開発。
• 最小固定点と最大固定点を用いた数学的に正確で簡潔な無限書き換え関係の定義。
• Coqなどのインタラクティブ定理証明器における無限書き換えの形式的定式化の支援。
• 無限還元の証明項を体系的に生成・形式化する共帰的証明規則の導入。
• 共帰に基づく自然に生じる新しい無限書き換えの変種、例えば双方向無限書き換えや無限等式推論の探求。

提案手法

• 無限書き換え関係は $\mathrel{\mbox{$\to\to\to$}} = \mu x.\, \nu y.\, (\to_{\varepsilon} \cup \overline{x})^* \circ \overline{y}$ として定義され、ここで $\mu$ は最小固定点、$\nu$ は最大固定点を表す。
• 演算子 $\overline{R}$ は関係 $R$ を項へと持ち上げる。これは部分項すべてに再帰的に適用され、同一構造に対して恒等的である。
• 根ステップ $\to_{\varepsilon}$ は書き換え規則と置換により定義され、還元の基盤を形成する。
• この枠組みは、無限の証明木を許容する共帰的導出規則を用い、無限順序数の還元を表すループ構造を備える。
• 証明項は共帰的規則により生成され、Coqにおける無限還元の形式的検証を可能にする。
• 圧縮補題はCoqで形式的に証明され、この枠組みの機械的推論における実用的有用性が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限書き換えを順序数や度合い収束に依存せずに定義する方法は何か？
• RQ2 共帰的枠組みは任意の順序数長の無限還元を捉えることができるか？
• RQ3 無限還元の証明項を体系的に生成・形式化する方法は何か？
• RQ4 共帰的枠組みから自然に生じる新しい無限書き換えの変種は何か？
• RQ5 この枠組みは、無限書き換えにおける主要な定理の形式的定式化をどの程度支援できるか？

主な発見

• 無限書き換え関係は、最小固定点と最大固定点を含む簡潔な固定点方程式により定義され、順序数や収束度合いの必要性が排除された。
• この枠組みはCoqにおける形式的定式化を可能にし、圧縮補題の検証済み証明によってその実用的有用性が示された。
• 共帰的証明規則により、無限還元の証明項が生成され、機械的推論を支援する。
• 二つの新しい無限書き換えの変種が導入された：双方向無限書き換えと無限等式推論。両者とも共帰的に定義された。
• この枠組みは、無限書き換えと余代数の間の自然な関係を明らかにし、より深い理論的関係を示唆する。
• 関係 $=^\infty$ が $(\mathrel{\mbox{$\to\to\to$}} \cup \mathrel{\reflectbox{$\mathrel{\mbox{$\to\to\to$}}$}})^*$ に真に含まれることが示された。これは、無限等式推論における適切な階層構造を示している。