[論文レビュー] A Coinductive Version of Milner's Proof System for Regular Expressions Modulo Bisimilarity

Clemens Grabmayer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory参考文献 11被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ミルナーの正規表現の bisimilarity に関する証明体系を、余帰納的（coinductive）に再定式化し、非代数的固定点規則を、ミルナーの等式コア上で LEE 形の循環的導出を可能にする規則に置き換える。このようにして得られる体系 cMil と、余帰納的結合体系 CLC が、ミルナーの元来の体系と定理的に同値であることを証明しており、固定点規則が追加する導出能力を同定するとともに、グラフに基づく余帰納的推論を用いた完全性証明の新たな道筋を提供する。

ABSTRACT

By adapting Salomaa's complete proof system for equality of regular expressions under the language semantics, Milner (1984) formulated a sound proof system for bisimilarity of regular expressions under the process interpretation he introduced. He asked whether this system is complete. Proof-theoretic arguments attempting to show completeness of this equational system are complicated by the presence of a non-algebraic rule for solving fixed-point equations by using star iteration. We characterize the derivational power that the fixed-point rule adds to the purely equational part $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ of Milner's system $ ext{$ ext{Mil}$}$: it corresponds to the power of coinductive proofs over $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ that have the form of finite process graphs with the loop existence and elimination property $ ext{LEE}$. We define a variant system $ ext{cMil}$ by replacing the fixed-point rule in $ ext{Mil}$ with a rule that permits $ ext{LEE}$-shaped circular derivations in $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ from previously derived equations as a premise. With this rule alone we also define the variant system $ ext{CLC}$ for merely combining $ ext{LEE}$-shaped coinductive proofs over $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$. We show that both $ ext{cMil}$ and $ ext{CLC}$ have proof interpretations in $ ext{Mil}$, and vice versa. As this correspondence links, in both directions, derivability in $ ext{Mil}$ with derivation trees of process graphs, it widens the space for graph-based approaches to finding a completeness proof of Milner's system. This report is the extended version of a paper with the same title presented at CALCO 2021.

研究の動機と目的

• ミルナーの証明体系の等式コア Mil´ に追加される固定点規則 RSP* が、どの程度の導出能力を追加するかを同定すること。
• 長年の未解決問題であるミルナー体系の完全性を、固定点解法に必要な本質的推論を捉える余帰納的フレームワークを同定することで解決すること。
• LEE 形の余帰納的証明に基づく、ミルナー体系と等価な新たな証明体系 cMil を開発すること。
• ミルナー体系、余帰納的体系 cMil、および余帰納的結合体系 CLC の間で定理的同値性を確立し、証明理論とプロセスグラフ意味論を結びつけること。
• 自然な導出クラス（LEE 形）を同定することで、将来の完全性証明の基盤を提供し、これを体系的に分析・簡略化可能とする。

提案手法

• 『LLEE 見積み付き余帰納的証明』の概念を導入——頂点がスター式の等式でラベル付けされた、1-遷移と、段階的ループ存在・除去（LLEE）構造を持つ有限プロセスグラフ。
• ミルナーの RSP* 規則を、Mil´ で事前に証明された等式から、LEE 形の循環的導出を許容する規則に置き換えることで、新たな証明体系 cMil を定義する。
• LLEE 見積み付き余帰納的証明を統合するためのカーネル体系 CLC を導入し、複雑な導出のモジュラー構築を可能にする。
• Mil における任意の導出が、cMil1（cMil の変種）における導出に効果的に変換可能であり、逆も成り立つことを示す証明変換を確立する。
• 構造的帰納法とプロセスグラフ意味論を用いて、LLEE 形のグラフが、Mil´-証明可能同値性の下で一意に解けるガード付き系に対応することを証明する。
• 既知の 1-双対同型および関数的 1-双対同型の結果を活用し、スター式のプロセス解釈が LLEE 1-チャートの像であることを示し、プロセスグラフ上の余帰納的推論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミルナーの固定点規則 RSP* は、等式コア Mil´ にどの程度の導出能力を追加するか？
• RQ2 ミルナー体系における固定点推論は、LEE 性質を持つ有限プロセスグラフに基づく余帰納的証明体系によって完全に捉えられるか？
• RQ3 非代数的規則を避けて、循環的かつグラフベースの導出を用いる、ミルナー体系と等価な余帰納的証明体系は存在するか？
• RQ4 CLC における導出は、深さが有界な正規形に簡略化可能であり得るか？ これにより完全性への道筋が示唆されるか？
• RQ5 LLEE 見積み付き余帰納的証明は、スター式の意味論およびそのプロセス解釈とどのように関係するか？

主な発見

• ミルナー体系における固定点規則 RSP* は、Mil´ 上での LEE 形の循環的導出の導出能力を正確に追加しており、これは LLEE 見積み付き余帰納的証明フレームワークによって捉えられる。
• 余帰納的体系 cMil は、両方向の効果的証明変換により、ミルナーの元来の体系 Mil と定理的に同値であることが示された。
• LLEE 見積み付き余帰納的証明を統合する体系 CLC も、Mil と定理的に同値であり、双対同型に関する推論のモジュラーな基盤を提供する。
• Mil における任意の導出は、RSP* 応用を模倣する LLEE 見積み付き余帰納的証明を用いて、cMil1 における導出に効果的に変換可能である。
• ミルナー体系の 1-自由部分集合の完全性証明 [13] が、CLC における深さ 2 の導出によって模倣可能であることが示され、余帰納的導出の潜在的な正規形を示唆する。
• 任意のスター式のプロセス解釈は、LLEE を持つ 1-チャートの関数的 1-双対同型の像であることが確立され、記法とグラフ構造の間の意味論的ブリッジを構築した。