[論文レビュー] A Collatz-Wielandt characterization of the spectral radius of order-preserving homogeneous maps on cones

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間内の正規錐上での順序を保ち、正homogeneousな写像のスペクトル半径について、一般化されたコラッツ＝ヴィーラントの特徴付けを確立する。スペクトル半径は、錐の内部における超固有ベクトルのスケーリング係数の下界に等しくなり、錐の本質的スペクトル半径に関連する擬コンパクト性条件が満たされれば、閉錐内に存在する固有ベクトルに関連する最大固有値にも等しくなる。

ABSTRACT

Several notions of spectral radius arise in the study of nonlinear order-preserving positively homogeneous self-maps of cones in Banach spaces. We give conditions that guarantee that all these notions lead to the same value. In particular, we give a Collatz-Wielandt type formula, which characterizes the growth rate of the orbits in terms of eigenvectors in the closed cone or super-eigenvectors in the interior of the cone. This characterization holds when the cone is normal and when a quasi-compactness condition, involving an essential spectral radius defined in terms of $k$-set-contractions, is satisfied. Some fixed point theorems for non-linear maps on cones are derived as intermediate results. We finally apply these results to show that non-linear spectral radii commute with respect to suprema and infima of families of order preserving maps satisfying selection properties.

研究の動機と目的

• 順序を保ち、正homogeneousな写像のスペクトル半径に関する、さまざまな概念を統一・拡張すること。
• 軌道、超固有ベクトル、固有ベクトルに基づく異なるスペクトル半径の定義が一致する条件を確立すること。
• 非負行列に対する古典的なコラッツ＝ヴィーラント定理の非線形版を、一般の正規錐上の写像に適用可能にするものとして提供すること。
• 中間的な結果として、錐上での非線形写像の不動点定理を導出すること。
• 選択性の性質を満たす非線形スペクトル半径が、上限および下限に関して可換であることを示すこと。

提案手法

• k-集合収縮と一般化された非コンパクト性の測度を用いて、錐の本質的スペクトル半径の概念を導入する。
• 非拡大写像の理論とトムプソンの距離を用いて、錐内での軌道の挙動を分析する。
• 錐の内部における超固有ベクトルと閉錐内における固有ベクトルの概念を用いて、軌道の成長を評価する。
• 有界集合での一様連続性と錐の正規性を用いて、コラッツ＝ヴィーラント特徴付けの妥当性を保証する。
• 錐上での非線形写像の不動点定理を応用し、スペクトル半径の特徴付けを導出する。
• 上界および下界の選択を用いて、写像族の上限および下限のスペクトル半径を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序を保ち、正homogeneousな写像のスペクトル半径について、錐上で異なる定義が一致する条件は何か？
• RQ2 非線形的で、順序を保ち、正homogeneousな写像に対して、非負錐上の線形写像へのコラッツ＝ヴィーラント型特徴付けを一般化できるか？
• RQ3 k-集合収縮を用いて定義される錐の本質的スペクトル半径は、スペクトル半径に対応する固有ベクトルの存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 順序を保つ写像族の点ごとの上限および下限に関して、スペクトル半径はどのように振る舞うか？
• RQ5 スペクトル半径が、閉錐内に非自明な固有ベクトルに対応する最大固有値に等しくなるのはどのような場合か？

主な発見

• 正homogeneousかつ順序を保つ写像 $ f $ と正規錐 $ C $ に対して、スペクトル半径 $ r(f, C) $ は $ \inf\{\lambda > 0 \mid \exists u \in \mathrm{int}\,C,\ f(u) \leq \lambda u\} $ に等しくなり、一般化されたコラッツ＝ヴィーラントの公式を確立する。
• 写像 $ f $ の錐の本質的スペクトル半径が $ r(f, C) $ よりも厳密に小さいとき、スペクトル半径は $ \max\{\mu \geq 0 \mid \exists v \in C \setminus \{0\},\ f(v) = \mu v\} $ にも等しくなり、非自明な固有ベクトルの存在が保証される。
• 選択性の性質を満たす順序を保つ正homogeneous写像族の上限および下限に関して、スペクトル半径は可換である。すなわち、適切な連続性および正規性の条件下で $ r(\sup f_a, C) = \sup r(f_a, C) $ および $ r(\inf f_a, C) = \inf r(f_a, C) $ が成り立つ。
• 本結果は、$ \mathbb{R}^n_+ $ 上の線形写像に対する古典的コラッツ＝ヴィーラント定理を、抽象的な正規錐上での非線形で正homogeneousかつ順序を保つ写像に一般化する。
• 写像 $ f $ のある反復写像がコンパクトであれば、錐の本質的スペクトル半径は0に等しくなり、固有ベクトルの特徴付けを満たすための重要な条件を満たす。
• 提示された条件下では、無限次元バナッハ空間であっても、スペクトル半径を達成する非自明な固有ベクトルの存在が保証される。