[論文レビュー] A Combination Framework for Complexity

Martin Avanzini, Georg Moser|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 20被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、項書き換え系における多項式時間複雑性解析の統合的組み合わせ枠組みを提示する。導出複雑性と実行時複雑性解析を統合し、一般化された複雑性ペアを導入し、依存対技術を拡張し、依存グラフ分解——複雑性の乗法的上限を有する独立した部分問題に依存グラフを分割することでモジュラリティを高め、解析を簡素化する新手法——を提案する。

ABSTRACT

In this paper we present a combination framework for polynomial complexity analysis of term rewrite systems. The framework covers both derivational and runtime complexity analysis. We present generalisations of powerful complexity techniques, notably a generalisation of complexity pairs and (weak) dependency pairs. Finally, we also present a novel technique, called dependency graph decomposition, that in the dependency pair setting greatly increases modularity. We employ the framework in the automated complexity tool TCT. TCT implements a majority of the techniques found in the literature, witnessing that our framework is general enough to capture a very brought setting.

研究の動機と目的

• 項書き換え系（TRSs）における多項式時間複雑性の解析のための一般的でモジュラーなフレームワークの開発。導出複雑性と実行時複雑性の両方をカバーする。
• 既存の複雑性技術——複雑性ペア、還元ペア、依存対——を統一的かつ一般化し、単一の形式的枠組みに統合すること。
• 依存グラフ分解を導入することで、部分グラフの独立的解析を可能にし、複雑性解析におけるモジュラリティと自動化を向上させること。
• 相対的TRSsおよび内側優先書き換えやコンストラクタベースの項を含む複雑な解析設定をサポートすること。
• 年次終了性コンペティションに参加する、フレームワークを実装したTyrolean Complexity Tool（TCT）の基盤を提供すること。

提案手法

• 複数の複雑性技術を単一の形式的枠組みに統合する組み合わせフレームワークを提案し、TRSsにおけるモジュラーな推論を可能にする。
• 既存の順序の一般化として、$\mathcal{P}$-単調複雑性ペアを導入し、複雑性ペア、$\mu$-単調ペア、安全な還元ペアを包含する。
• 一般化された依存対を用いて、依存対技術を相対的TRSsに拡張し、標準的および内側優先の書き換えを両方サポートする。
• 依存グラフ分解を、依存グラフを互いに素な部分グラフに分割するプロセッサとして導入し、独立した解析を可能にする。
• 再帰的分解戦略を採用し、元の問題の複雑性が部分問題の複雑性の積によって上限付けられることを保証する。
• 導出木と経路解析を用いて、複雑性の上限を形式的に証明し、終了保証のために整礎性と有限分岐性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TRSにおける多様な複雑性解析技術を、単一でモジュラーなフレームワークに統合する方法は何か？
• RQ2 複雑性ペアと還元ペアは、導出複雑性と実行時複雑性を一様に扱えるように一般化可能か？
• RQ3 依存グラフ解析は、モジュラリティを向上させ、自動解析における複雑性を低減するためにどのように強化できるか？
• RQ4 依存グラフを独立した部分問題に分解することで、全体の複雑性上限にどのような影響を与えるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、主要な複雑性解析サブドメインをすべてカバーするツールに効果的に実装可能か？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、複雑性ペア、還元ペア、依存対手法を含む多様な複雑性解析技術を効果的に統合した。
• $\mathcal{P}$-単調複雑性ペアは、既存の順序を一般化し、導出複雑性と実行時複雑性の均一な取り扱いを可能にする。
• 依存グラフ分解により、互いに素な部分グラフの独立的解析が可能となり、全体の複雑性が部分問題の複雑性の積によって上限付けられる。
• フレームワークにより、Tyrolean Complexity Tool（TCT）は年次終了性コンペティションの4つの複雑性サブドメインをすべてサポートでき、実用的な汎用性を示した。
• 部分問題の複雑性がそれぞれ$\mathsf{O}(f(n))$および$\mathsf{O}(g(n))$で上限付けられる場合、元の問題の複雑性上限は$\mathsf{O}(f(n) \cdot g(n))$となり、この上限はしばしばタイトである。
• フレームワークは相対的TRSsをサポートし、経路解析や知識伝搬技術を、内側優先書き換えやコンストラクタベースの項を含むより一般な設定に拡張する。