[論文レビュー] A combinatorial approach to classical representation theory

Martin Rubey, Bruce W. Westbury|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、古典的表現論のための組合せ的枠組みを提示し、図式カテゴリを用いて古典的群および対称群の作用下での不変量の明示的基底を構成する。シミプレクティック群の第二基本定理について、透明で図式的な証明が与えられ、$(n+1)$-非交叉マッチングおよび$k$-正則グラフに対する巡回的スフィアリング現象が確立され、明示的なフロベニウス特性式および一様な分岐則が表現全体にわたって導出される。

ABSTRACT

A fundamental problem from invariant theory is to describe the endomorphism algebra of multilinear functions on a representation V invariant under the action of a group G. According to Weyl's classic, a first main (later: fundamental) theorem of invariant theory provides a finite spanning set for this algebra, whereas a a second main theorem describes the linear relations between those basic invariants. We use diagrammatic methods to carry Weyl's programme a step further, providing explicit bases for the subspace of the r-th tensor powers of V invariant under the action of G, that are additionally preserved by the action of the long cycle of the symmetric group on r letters. The representations we study are essentially those that occur in Weyl's book: the defining representations of the symplectic groups, the defining representations of the symmetric groups considered as linear representations, and the adjoint representations of the linear groups. In particular, we present a transparent, combinatorial proof of a second fundamental theorem for the defining representation of the symplectic groups Sp(2n). Our formulation is explicit and provides a very precise link to (n+1)-noncrossing perfect matchings, going beyond a dimension count. Extending our argument to the k-th symmetric powers of these representations, the combinatorial objects involved turn out to be (n+1)-noncrossing k-regular graphs. As corollaries we obtain instances of the cyclic sieving phenomenon for these objects and the natural rotation action. In general, we derive branching rules for the diagram algebras corresponding to the representations in a uniform way. We also compute the Frobenius characteristics of modules of the diagram algebras restricted to the action of the symmetric group and obtain the isotypic decomposition of the r-th tensor power of V when n is large enough in comparison to r.

研究の動機と目的

• 重い代数的道具を避ける組合せ的・図式的古典的表現論のアプローチの開発。
• $\fS_r$ の長サイクルの作用を受けても不変である、$G$-不変テンソル $\bigotimes^r V$ の明示的基底の構成。
• $\r{Sp}(2n)$ の定義表現に対して、$(n+1)$-非交叉完全マッチングを用いて完全で明示的な第二基本定理を確立。
• この枠組みを $k$-次対称冪へ拡張し、関連する組合せ的対象として $(n+1)$-非交叉 $k$-正則グラフを同定。
• これらの組合せ的集合への回転作用に対する巡回的スフィアリング現象の実現。

提案手法

• 終端代数 $\r{End}_G(\bigotimes^r V)$ をモデル化するための図式カテゴリ（ブローア、分割、有向ブローアカテゴリ）の使用。
• 図式カテゴリの終端代数から実際に $G$-不変終端代数へと写像する準同型の構成により、第一基本定理の実現。
• 特に $s_\nu * s\nu$ および $p_\nu$ を含む、対称関数とシュール関数を用いた $G \times \fS_r$-加群のフロベニウス特性の計算。
• 非交叉性や正則性といった組合せ的制約を用いて、図式カテゴリ写像の核を第二基本定理として同定。
• モラータ同値とインフレーション関手を用いて、図式代数の加群と $G$ の既約表現との関係を確立。
• 長サイクルの作用を受けても不変である基底の明示的構成により、マッチングおよびグラフへの回転作用による巡回的スフィアリング現象の実現。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組合せ的・図式的手法は、$\r{Sp}(2n)$ の定義表現に対する第二基本定理を透明に証明できるか？
• RQ2 $\r{Sp}(2n)$、$\r{S}_n$、$\r{GL}(n)$ の定義表現における $\bigotimes^r V$ の不変量をパラメータ化する組合せ的対象は何か？
• RQ3 $\bigotimes^r V$ における $G$-不変テンソルの基底で、$\fS_r$ の長サイクルの作用を受けても不変であるものは存在するか？
• RQ4 一般線形群 $\r{GL}(n)$ の随伴表現のテンソル冪に対して、巡回的スフィアリング現象を明示的な組合せ的モデルで実現できるか？
• RQ5 図式代数のフロベニウス特性および分岐則を、古典的群全体にわたって一様に計算する方法は何か？

主な発見

• $\r{Sp}(2n)$ に対して完全で明示的な第二基本定理が確立され、不変量は $(n+1)$-非交叉完全マッチングによってパラメータ化される。
• 研究された表現の $k$-次対称冪に対して、関連する組合せ的対象は $(n+1)$-非交叉 $k$-正則グラフである。
• $\fS_r$-加群の不変量のフロベニウス特性は、$\sum_{\lambda \vdash r} p_\lambda = \sum_{\lambda} s_\lambda * s_\lambda$ で与えられ、ここで $p_\lambda$ は冪和対称関数である。
• 大きな $n$ に対して、一般定理を用いて $\bigotimes^r V$ の同型的分解が決定され、分岐則が一様に記述される。
• $n \geq 2r$ のとき、置換への長サイクルの作用に対して巡回的スフィアリング現象が成立し、生成多項式は $P(q) = \mathbf{fd} \sum_{\lambda \vdash r} p_\lambda$ である。
• すべての $n$ に対して、長サイクルの作用を受けても不変である $G$-不変テンソルの基底が構成され、長年の未解決問題が組合せ的に明示的に解決された。