[論文レビュー] A combinatorial calculation of the Landau-Ginzburg model $M= \mathbb C^3, W=z_1 z_2 z_3$

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$A$-モデルを、$M = \mathbb{C}^3$, $W = z_1 z_2 z_3$ であるランダウ・ジンツブルグ模型の、2次元トーラスのコーンに同型な錐的ラグランジュスケルトン $L$ 上の微局所層を用いて計算する。組合せ的還元としてのアーブレアライゼーション補題を用いることで、微局所層の導来圏が、$\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ の $B$-モデルと同値であることが示され、この場合のミラー対称性が確認される。

ABSTRACT

The aim of this paper is to apply ideas from the study of Legendrian singularities to a specific example of interest within mirror symmetry. We calculate the Landau-Ginzburg $A$-model with $M= \mathbb C^3, W=z_1 z_2 z_3$ in its guise as microlocal sheaves along the natural singular Lagrangian thimble $L = {\mathit Cone}(T^2)\subset M$. The description we obtain is immediately equivalent to the $B$-model of the pair-of-pants $\mathbb P^1 \setminus \{0, 1, \infty\}$ as predicted by mirror symmetry.

研究の動機と目的

• ランダウ・ジンツブルグ模型 $M = \mathbb{C}^3$, $W = z_1 z_2 z_3$ の $A$-モデルを、その錐的ラグランジュスケルトン上の微局所層を用いて計算すること。
• 得られた微局所層の圏が、$\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ の $B$-モデルと同値であることを示すことにより、ミラー対称性を検証すること。
• 特異的または非コンパクトな設定において微局所層を計算するための、組合せ的技法—特にアーブレアライゼーション補題—の有効性を示すこと。
• 臨界集合が特異的かつコンパクトでない設定において、$A$-ブレーン圏の明示的かつ計算可能な実現を提供すること。

提案手法

• 錐的ラグランジュスケルトン $L \subset \mathbb{C}^3$ は、球面的射影化されたコノーマルバンドルを通じて、$S^*X$ 内のレジェンドリアン部分多様体 $\Lambda \subset S^*X$ と同定される。
• アーブレアライゼーション補題（補題 2.3）を適用し、$\Lambda \subset S^*X$ 上の微局所層の計算を、$\mathbb{R}^4$ 内の3次元球体 $A \subset \mathbb{R}^4$ 上の局所定数層への還元を行う。
• $\Lambda_A \subset S^*A$ が微分同相的に2次元トーラスであることが示され、$A$ 内の曲面 $\Sigma \subset A$ への射影は4点を除いて埋め込みであり、重複する部分で transverse である。
• 圏 $\mathit{Sh}_{\Lambda_A}(A)_c$ は、5つの有限次元 $k$-ベクトル空間 $V, V_1, V_2, V_3, V_4$ の有界導来圏として計算され、写像 $V_a \to V$ が、$a \neq b$ に対して $V_a \oplus V_b \simeq V$ となる直和分解を満たす。この構造はモノドロミーのデータを符号化する。
• 得られたデータは、$1$ が固有値でないような自己同型 $m: V_1 \to V_1$ によってパラメトライズされる。これはペア・オブ・パンツの $B$-モデルと完全に一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界集合が特異的かつ非コンパクトである場合、ランダウ・ジンツブルグ模型 $M = \mathbb{C}^3$, $W = z_1 z_2 z_3$ の $A$-モデル圏は何か？
• RQ2 特異性があるにもかかわらず、微局所層圏が組合せ的に行えるか？
• RQ3 錐的ラグランジュスケルトン $L$ 上の微局所層圏は、$\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ の $B$-モデルとどのように関係するか？
• RQ4 アーブレアライゼーション補題は、滑らかな多様体上のレジェンドリアンコーン上での微局所層の計算に効果的に適用可能か？
• RQ5 この状況下での微局所層圏の正確な代数的構造は何か？

主な発見

• 微局所層 $\mu\mathit{Sh}_\Lambda(X)$ の導来圏は、$\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上の、有限生成の torsion 複体の有界 dg 圏と同値である。
• 圏 $\mathit{Sh}_{\Lambda_A}(A)_c$ は、$V, V_1, V_2, V_3, V_4$ の5つの有限次元 $k$-ベクトル空間と、$a \neq b$ に対して $V_a \oplus V_b \simeq V$ を満たす写像 $V_a \to V$ を持つ、有界導来圏と同値である。
• データは、$1$ が固有値でない自己同型 $m: V_1 \to V_1$ によってパラメトライズされ、これはペア・オブ・パンツの $B$-モデル構造と正確に一致する。
• 同値性は、1回のアーブレアライゼーション補題の適用により確立され、問題が3次元球体上の局所定数層への還元に帰着される。
• 得られた圏はペア・オブ・パンツの $B$-モデルと同値であり、この場合のミラー対称性が確認される。
• 計算により、臨界集合が特異的かつ非コンパクトな場合でも、$A$-モデルが計算可能で、組合せ的に取り扱えることが示された。