[論文レビュー] A combinatorial description of dual defects of toric varieties

Katsuhisa Furukawa, Atsushi Ito|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Cayley和を用いたトロイカル多様体における双対欠損の組合せ的特徴付けを提供する。トロイカル多様体 $X_A$ が双対欠損であるための必要十分条件は、その定義集合 $A$ が、$\mathbb{Z}$-アフィン同値な結合型のCayley和 $A_0 * \cdots * A_r$ に一致することである。このとき双対欠損度 $\delta_{X_A} = r - c$ が成り立ち、$c$ は環境空間のcodimensionを表す。この結果は、滑らかでかつ $\mathbb{Q}$-ファクタークラスである場合に既に知られていた結果を、一般のトロイカル多様体、特に非正規かつ非滑らかな場合にまで一般化する。

ABSTRACT

From a finite set in a lattice, we can define a toric variety embedded in a projective space. In this paper, we give a combinatorial description of the dual defect of the toric variety using the structure of the finite set as a Cayley sum with suitable conditions. We also interpret the description geometrically.

研究の動機と目的

• 有限集合 $\mathbb{Z}^n$ によって定義されるトロイカル多様体の双対欠損性に関する組合せ的基準を提供すること。
• 滑らかで $\mathbb{Q}$-ファクタークラスであるトロイカル多様体における双対欠損に関する先行研究を、一般のケース、特に非正規および非滑らかな多様体にまで一般化すること。
• 定義集合 $A$ の構造をCayley和として分析することにより、トロイカル多様体 $X_A$ が双対欠損である条件を特徴付けること。
• 関連多様体の結合構造と接触集合の挙動を用いて、双対欠損の幾何的解釈を確立すること。

提案手法

• 有限集合 $A \subset \mathbb{Z}^n$ に対応する単項式写像 $\varphi_A: (\mathbb{C}^\times)^n \to \mathbb{P}^N$ の像の閉包として定義されるトロイカル多様体 $X_A \subset \mathbb{P}^N$ を定義する。
• Cayley和 $A_0 * \cdots * A_r$ を $\mathbb{Z}^{n-r} \times \mathbb{Z}^r$ の部分集合として定義し、$A$ の組合せ的構造を表現する。
• Cayley和における「結合型」条件を定義する：各 $A_i - A_i$ のミンコフスキー差の和が内部直和をなすことで、環境格子構造が保たれることを保証する。
• 接触集合のファイバー次元と双対欠損度を関係付けるために、$B \supset (\mathbb{C}^\times)^c$ を含む射影多様体 $B$ への有理写像 $\psi: X_A \dashrightarrow B$ を導入する。
• 特異点の解消および正規化技術を用いて、余接多様体 $C(X)$ から $(X^*)^{\text{nor}}$ への準同型 $\widetilde{\operatorname{pr}}_2: \widetilde{C}(X) \to (X^*)^{\text{nor}}$ を構成し、双対性定理の適用を可能にする。
• 射影双対性（$X^{**} = X$）とファイバー次元解析を用いて、$\delta_{X_A} = r - c$ の公式を導出する。ここで $r$ は和の項の数、$c$ は基本空間の次元である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロイカル多様体 $X_A$ がいつ双対欠損となるのか。この性質を特徴付ける $A \subset \mathbb{Z}^n$ の組合せ的構造は何か。
• RQ2 双対欠損度 $\delta_{X_A}$ は、有限集合 $A_0, \dots, A_r$ のCayley和としての $A$ の分解とどのように関係するか。
• RQ3 Cayley和のどの条件が $X_A$ が双対欠損であることを保証するか。また、滑らかまたは $\mathbb{Q}$-ファクタークラスの場合に既知の結果をどのように一般化するか。
• RQ4 滑らかさや正規性の仮定なしに、$A$ の格子構造から双対欠損度を純粋に組合せ的に計算できるか。
• RQ5 一般の $H \in X^{*}$ に対して $X_A$ 上の接触集合の幾何的意味は何か。また、有理写像 $\psi$ のファイバーとどのように関係するか。

主な発見

• トロイカル多様体 $X_A$ が双対欠損であるための必要十分条件は、その定義集合 $A$ が、$\mathbb{Z}$-アフィン同値な結合型Cayley和 $A_0 * \cdots * A_r$ に一致することであり、$r = (n + \delta_{X_A})/2$ が成り立つ。
• 双対欠損度は $\delta_{X_A} = r - c$ を満たす。ここで $r$ はCayley和の項の数、$c$ は $B \supset (\mathbb{C}^\times)^c$ の基本空間の次元である。
• 一般の $H \in X^{*}$ に対して、$X_A$ 上の接触集合は有理写像 $\psi: X_A \dashrightarrow B$ のあるファイバー $Y_s$ に含まれ、そのファイバー次元が欠損度に対応する。
• 有理写像 $\psi$ の構成は一般には準同型ではない。特に、$X_A$ がピカール数1をもつ場合、正の次元の多様体への全射準同型は存在しない。
• 滑らかで $\mathbb{Q}$-ファクタークラスである場合に既に知られていた定理を、一般のケース、非正規および非滑らかな多様体にまで拡張する。
• 射影正規性は、対称冪写像 $\operatorname{Sym}^d H^0(\mathcal{E}) \to H^0(\operatorname{Sym}^d \mathcal{E})$ が全射である場合に保たれる。例として $\mathcal{E} = \mathcal{O}(2,0) \oplus \mathcal{O}(0,2) \oplus \mathcal{O}(1,1)^{\oplus 2}$ が挙げられる。