[論文レビュー] A Combinatorial $ ilde{O}(m^{3/2})$-time Algorithm for the Min-Cost Flow Problem

Ruben Becker, Andreas Karrenbauer|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

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ひとこと要約

この論文は、線形時間で補助ネットワークを構築し、初期潜在的価値 $P_0 = \tilde{O}(\sqrt{m})$ の内部原始的および双対解を得ることで、最小費用循環問題に対して組み合わせ的 $\tilde{O}(m^{3/2})$ 時間のアルゴリズムを提示する。この補助ネットワークでは、電気的フロー計算を指針とする新規な潜在的価値削減法と、近線形時間で最適整数潜在的価値を計算するクロスオーバー手順を用い、初めて組み合わせ的アルゴリズムとして最良の時間計算量を達成する。

ABSTRACT

We present a combinatorial method for the min-cost flow problem and prove that its expected running time is bounded by $ ilde O(m^{3/2})$. This matches the best known bounds, which previously have only been achieved by numerical algorithms or for special cases. Our contribution contains three parts that might be interesting in their own right: (1) We provide a construction of an equivalent auxiliary network and interior primal and dual points with potential $P_0= ilde{O}(\sqrt{m})$ in linear time. (2) We present a combinatorial potential reduction algorithm that transforms initial solutions of potential $P_0$ to ones with duality gap below $1$ in $ ilde O(P_0\cdot \mbox{CEF}(n,m,ε))$ time, where $ε^{-1}=O(m^2)$ and $\mbox{CEF}(n,m,ε)$ denotes the running time of any combinatorial algorithm that computes an $ε$-approximate electrical flow. (3) We show that solutions with duality gap less than $1$ suffice to compute optimal integral potentials in $O(m+n\log n)$ time with our novel crossover procedure. All in all, using a variant of a state-of-the-art $ε$-electrical flow solver, we obtain an algorithm for the min-cost flow problem running in $ ilde O(m^{3/2})$.

研究の動機と目的

• 最小費用循環問題における組み合わせ的アルゴリズムと数値的アルゴリズムのギャップを埋め、組み合わせ的に $\tilde{O}(m^{3/2})$ 時間計算量を達成すること。
• 元のグラフ $G_0$ と同一の最適解を保つ補助ネットワーク $G_1$ を線形時間で構築し、初期潜在的価値が小さい内部原始的および双対解を得ること。
• 電気的フロー部分問題を用いて、組み合わせ的演算のみで $\tilde{O}(P_0 \cdot \text{CEF}(n,m,\epsilon))$ 時間で双対ギャップを 1 より小さくする組み合わせ的潜在的価値削減アルゴリズムを設計すること。
• 双対ギャップが 1 より小さい解から最適整数潜在的価値を $O(m + n\log n)$ 時間で計算する新規なクロスオーバー手順を開発すること。
• 対数関数や平方根の計算を避けて、基本的な算術演算と比較演算のみを用いて最小費用循環問題の最良の時間計算量を達成すること。

提案手法

• 元のグラフ $G_0$ と同一の最適解を保つ補助ネットワーク $G_1$ を構築し、$3m$ 本の弧と $n_1 = O(n)$ 個のノードを持つ。
• $G_0$ で木解を計算し、$G_1$ における初期原始的および双対解 $x$, $y$, $s$ を導出する。すべての弧について $x_a s_a \in [t, t + \Gamma^2]$ となるようにし、$t = m\Gamma^3$ とする。
• 潜在的価値関数 $P(x,s) = q\ln(x^T s) - \sum_a \ln(x_a s_a) - m_1 \ln m_1$ を用い、$q = m_1 + p$, $p = \min\{k \in \mathbb{Z} : k^2 \geq m_1\}$ とすることで、最適解への探索を導く。
• サイクルに沿ったフロー更新による原始的ステップを、サイクル空間への潜在的価値関数の勾配の射影に基づいて行い、勾配がサイクル空間にほぼ直交する場合には双対的ステップを実行する。
• 必要な射影を電気的フロー部分問題を用いて計算し、抵抗値は原始変数の値の逆数に比例し、電流源は勾配から導出する。
• 双対ギャップが 1 より小さい解から最適整数潜在的価値を $O(m + n\log n)$ 時間で計算する新規なクロスオーバー手順を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小費用循環問題に対して、組み合わせ的アルゴリズムが $\tilde{O}(m^{3/2})$ 時間計算量を達成できるか？ これは、既存の最良の数値的手法と一致する。
• RQ2 元のグラフと同一の最適解を持つ補助ネットワークに対して、線形時間で初期潜在的価値が小さい内部解を構築できるか？
• RQ3 電気的フロー部分問題を用いて、組み合わせ的演算のみで $\tilde{O}(P_0 \cdot \text{CEF}(n,m,\epsilon))$ 時間で双対ギャップを 1 より小さくする組み合わせ的潜在的価値削減法を設計できるか？
• RQ4 双対ギャップが 1 より小さい解から最適整数潜在的価値を近線形時間で変換するクロスオーバー手順を設計できるか？
• RQ5 アルゴリズム全体を、対数関数や平方根を計算に使わず、基本的な算術演算と比較演算のみで実装できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、$m_1 = 3m$ 本の弧と $n_1 = O(n)$ 個のノードを持つ補助ネットワーク $G_1$ を $O(m)$ 時間で構築し、元のグラフの最適解を保持する。
• 初期原始的および双対解の潜在的価値は $P_0 = \tilde{O}(\sqrt{m})$ であり、アルゴリズム3を用いて線形時間で達成される。
• 潜在的価値削減アルゴリズムは、$\tilde{O}(P_0 \cdot \text{CEF}(n,m,\epsilon))$ 時間で双対ギャップを 1 より小さくする。ここで $\epsilon^{-1} = O(m^2)$ である。
• クロスオーバー手順は、双対ギャップが 1 より小さい解から最適整数潜在的価値を $O(m + n\log n)$ 時間で計算する。
• 最先端の組み合わせ的 $\varepsilon$-電気的フロー解法を用いることで、全体のアルゴリズムは $\tilde{O}(m^{3/2})$ 期待時間で実行される。
• アルゴリズムは完全に組み合わせ的である：計算には基本的な算術演算と比較演算のみを用い、対数関数や平方根は解析上にのみ現れる。