[論文レビュー] A Combinatorial Interpretation of The Numbers $6(2n)! /n! (n+2)!$

Ira M. Gessel, Guoce Xin|ArXiv.org|Jan 22, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、超カタラン数 $ T(2,n) = \frac{6(2n)!}{n!(n+2)!} $ および $ T(3,n) = \frac{60(2n)!}{n!(n+3)!} $ に対する最初の組合せ的解釈を提供する。$ T(2,n) $ は、全半長が $ n $ であるペアのダックパスのうち、高さの差が1以下であるものの個数を数え、$ T(3,n) $ は特定の高さ制約と終点制約を満たす ballot パスの三つ組を数える。両者とも、組合せ的および母関数的手法を用いて示されている。

ABSTRACT

It is well known that the numbers $(2m)! (2n)!/m! n! (m+n)!$ are integers, but in general there is no known combinatorial interpretation for them. When $m=0$ these numbers are the middle binomial coefficients $\binom{2n}{n}$, and when $m=1$ they are twice the Catalan numbers. In this paper, we give combinatorial interpretations for these numbers when $m=2$ or 3.

研究の動機と目的

• 既に組合せ的解釈がなかった $ m=2 $ および $ m=3 $ の場合の超カタラン数 $ T(m,n) = \frac{1}{2} \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} $ に対して、組合せ的解釈を提供すること。
• 既知の $ m=0 $（中央二項係数）および $ m=1 $（2倍のカタラン数）のケース以外の自然な組合せ的モデルを同定するという未解決問題を解決すること。
• 超カタラン数と高さ制限付きパスの列挙（特にダックパスおよび ballot パス）との間の関係を確立すること。
• $ T(2,n) $ が、全半長が $ n $ で、高さの差が1以内であるダックパスのペアを数えることを、包含除外およびパス変換技法を用いて示すこと。
• $ T(3,n) $ に対しても、恒等式 $ T(3,n) = 16C_n - 8C_{n+1} + C_{n+2} $ に対して直接の組合せ的解釈がないにもかかわらず、母関数およびパス分解を用いてこのアプローチを拡張すること。

提案手法

• 本稿は、非空のダックパスに対する因数分解 $ R = UDPQ $ を活用し、ダックパスのペアと長さ $ 2n $ のダックパスとの間の双対写像を用いる。
• ダックパスを変形する変換を導入し、ダウンステップをアップステップに変更するとともに、2番目のパスを2レベル分上にシフトすることで、パス構造とレベル制約を保存する。
• $ T(2,n) $ の場合、条件 $ h(P) \leq h(Q) + 1 $ を課し、証明は恒等式 $ T(2,n) = 4C_n - C_{n+1} $ を包含除外によって解釈することで成り立つ。
• $ T(3,n) $ の場合、母関数への移行が行われる。高さが最大 $ k $ でレベル $ j $ で終わる ballot パスの母関数 $ G_k^{(j)} $ を導入し、正確に高さ $ k $ のパスの母関数 $ H_k^{(j)} = G_k^{(j)} - G_{k-1}^{(j)} $ を定義する。
• $ G_k^{(j)} $ はカタラン数と有理関数を用いて表現され、$ G_k^{(j)} = x^{j/2} \frac{p_{k-j}}{p_{k+1}} $ と表される。ここで $ p_n(x) $ はチェビシェフ多項式に関連する多項式である。
• $ T(3,n) $ の主な母関数恒等式は、$ x $ の有理式を、指定された高さと終点を持つパスの母関数の積の和に等置することで導出され、これは記号計算（Maple）により検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超カタラン数 $ T(2,n) = \frac{6(2n)!}{n!(n+2)!} $ は、格子パスの観点から自然な組合せ的解釈を与えられるか？
• RQ2 恒等式の包含除外による解釈が難しいにもかかわらず、$ T(3,n) = \frac{60(2n)!}{n!(n+3)!} $ に対して組合せ的モデルは存在するか？
• RQ3 $ T(3,n) $ の母関数は、特定の高さと終点制約を持つ ballot パスの母関数の積の和としてどのように表現できるか？
• RQ4 恒等式 $ T(2,n) = 4C_n - C_{n+1} $ は、高さ制限付きのパスペアによる組合せ的解釈が可能か？
• RQ5 $ T(3,n) $ が数えるパス構成の正確な構造は何か？また、定理4.2における母関数分解とどのように関係しているか？

主な発見

• $ T(2,n) $ は、全半長が $ n $ で、1番目のパスの高さが2番目のパスの高さ以上1以下であるダックパスのペアの個数を数える。
• 恒等式 $ T(2,n) = 4C_n - C_{n+1} $ は、包含除外を用いた組合せ的解釈により、$ 4C_n $ が最初のパスが非空であるすべてのペアを数え、$ C_{n+1} $ が高さ条件を破るペアを数えるものとして解釈される。
• $ T(3,n) $ に関しては、母関数が $ \sqrt{x} \sum_{k=6}^{\infty} H_k^{(4)} H_{k-2}^{(3)} H_{k-4}^{(2)} + 2G_1 + 2G_2 + G_3 + G_5 $ に等しいことが示された。ここで $ H_k^{(j)} $ は正確に高さ $ k $ でレベル $ j $ に終わる ballot パスの個数を表す。
• 高さが最大 $ k $ でレベル $ j $ に終わる ballot パスの母関数 $ G_k^{(j)} $ は $ G_k^{(j)} = x^{j/2} \frac{p_{k-j}}{p_{k+1}} $ と与えられ、$ p_n(x) $ はチェビシェフ多項式に関連する多項式列である。
• $ T(3,n) $ の母関数は、恒等式 $ \frac{1}{2}(-1)^m(1-4x)^{m-1/2} = \sum_{n} T(m,n) x^{m+n} $ を用いて代数的に導出され、記号計算により検証された。
• 本稿は、すべての $ n \geq 2 $ に対して $ T(3,n) $ が正の整数であることを確認し、高さと終点の制約を満たすパスの三つ組を含む、構成的ではあるが複雑な組合せ的モデルを提供した。