[論文レビュー] A combinatorial non-positive curvature I: weak systolicity

Damian Osajda|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、局所的な組合せ的条件 $SD_2^*$ を満たす、単連結な単体的複体としての弱いシスティック複体を導入し、それらが非正曲率に類似した性質を示すことを証明する。このような複体がコンtraction可能であることを示し、その普遍被覆が弱いシスティックであることを示し、システィックおよび CAT(-1) における立方体複体の結果を一般化する。主な貢献は、非正曲率群を組合せ的条件によって研究するための新規な枠組みを提供することであり、グロモフの双曲性、コックスター群、漸近的位相幾何への応用を含む。

ABSTRACT

We introduce the notion of weakly systolic complexes and groups, and initiate regular studies of them. Those are simplicial complexes with nonpositive-curvature-like properties and groups acting on them geometrically. We characterize weakly systolic complexes as simply connected simplicial complexes satisfying some local combinatorial conditions. We provide several classes of examples --- in particular systolic groups and CAT(-1) cubical groups are weakly systolic. We present applications of the theory, concerning Gromov hyperbolic groups, Coxeter groups and systolic groups.

研究の動機と目的

• 弱いシスティック複体を、組合せ的に非正曲率であるとみなされる単体的複体の新しいクラスとして定義し、体系的に研究すること。
• 有限次元の弱いシスティック複体のコンtraction可能性を含む基礎的結果を確立すること。
• 既存の非正曲率群のクラス（例えば、システィック群や CAT(-1) における立方体群）を、一つの枠組みで統一・一般化すること。
• 弱いシスティック群の幾何学的および位相的性質、特に双曲性、漸近的アスphericality、境界構造の研究。

提案手法

• 弱いシスティック複体を定義するためのグローバルな組合せ的条件 $SD_n$（球上の単純な降下）を導入する。
• 局所的条件 $SD_2^*$ を定義し、それらを満たす任意の複体が弱いシスティックな普遍被覆を持つことを証明する。
• 厚さを加える構成を用いて、立方体複体などの既存の例から、弱いシスティック複体の新しい例を構成する。
• カルタン＝ハダマール型の定理を適用し、$SD_2^*$ 複体の普遍被覆がコンtraction可能であることを示す。
• $SD_2^*(7)$ 条件を負の曲率の組合せ的類似として導入し、グロモフの双曲性と関連付ける。
• 頂点の周囲の球に対する逆極限構成と射影写像を用いて、グロモフ境界を分析し、強い遺伝的アスphericalityを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱いシスティック複体を特徴づける組合せ的条件は何であり、既存の非正曲率フレームワークとどのように関係しているか？
• RQ2 $SD_2^*$ 条件が、複体の普遍被覆が弱いシスティックであることを保証するのはどのような仕組みか？
• RQ3 弱いシスティック群がグロモフ双曲的であるための条件は何か？平坦な等長埋め込みの存在とどのように関係しているか？
• RQ4 リンクが $SD_2^*(7)$ を満たす弱いシスティック複体は、そのグロモフ境界においてどの程度の強い位相的剛性を示すか？
• RQ5 弱いシスティック $SD_2^*(7)$ 群の準凸部分群は、再び弱いシスティック $SD_2^*(7)$ 群であるか？

主な発見

• 有限次元の弱いシスティック複体は、$SD_n$ 条件によりコンtraction可能であることが示された。
• $SD_2^*$ を満たす単体的複体の普遍被覆は弱いシスティックである。これは、組合せ的カルタン＝ハダマール定理に相当する。
• 弱いシスティック群のグロモフ双曲性は、等長的に埋め込まれた平坦な部分空間が存在しないことと同値である。
• 弱いシスティック $SD_2^*(7)$ 複体のグロモフ境界は、逆極限の球と位相的に同相であり、明確な位相的モデルを提供する。
• 弱いシスティック $SD_2^*(7)$ 群の準凸部分群は、再び弱いシスティック $SD_2^*(7)$ 群である。
• このような群のグロモフ境界は、強く遺伝的アスpherical（SHA）である。これは、既知の結果を新しいクラスの双曲群に拡張するものである。